已知自然数a和b,如果b能够整除a就是说b是a的一个因数,也称为约数。显然,任何自然数a,总有因数1和a。我们把小于a的因数叫做a的真因数。
例如:6,12,14这三个数的所有真因数:
6:1,2,3;1+2+3=6
12:1,2,3,4,6;1+2+3+4+6=1612
14:1,2,7;1+2+7=1014
像12这样小于它的真因数之和的叫做亏数(不足数);大于真因数之和的(如14)叫做盈数或过剩数;恰好相等的(如6)叫做完全数,也称为完美数。
古希腊人非常重视完全数。大约在公元100年,尼可马修斯写了第一本专门研究数论的书《算术入门》,其中写道:“也许是这样:正如美的、卓绝的东西是罕见的,是容易计数的,而丑的、坏的东西却滋蔓不已;所有盈数和亏数非常之多,而且紊乱无章,它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数,而且又顺理成昌……,它们具有一致的特性:尾数是6或8,而且永远是偶数。”
现在数学家已发现,完全数非常稀少,至今人们只发现29个,而且都是偶完全数。前5个分别是:6,28,496,8128,33550336。
经过不少科学家的研究,现在已经发现,假如数2n-1,是素数,那么数2n-1·(2n-1)就一定是完全数,其中的n也同样是素数。为此,数学家就用英文Prime(素数)的第一个字母p代替n,还把形如2p-1的素数叫“默森尼数”。但是,对于下面两个问题:“偶完全数的个数是不是有限的?”“有没有完全数?”数学家到现在还没有解决。
完全数有许多有趣的性质,例如:
1.它们都能写成连续自然数之和:
6=1+2+3,28=1+2+3+4+5+6+7,496=1+2+3+4+……+31,8128=1+2+3+4+……+127;
2.它们的全部因数的倒数之和都是2。
11+12+13+16=2
11+12+14+17+114+128=2
11+12+14+18+116+131+162+1124+1248+1496=2