第40章 稀少而有趣的完美数

已知自然数a和b，如果b能够整除a就是说b是a的一个因数，也称为约数。显然，任何自然数a，总有因数1和a。我们把小于a的因数叫做a的真因数。

例如：6，12，14这三个数的所有真因数：

6：1，2，3；1+2+3=6

12：1，2，3，4，6；1+2+3+4+6=1612

14：1，2，7；1+2+7=1014

像12这样小于它的真因数之和的叫做亏数（不足数）；大于真因数之和的（如14）叫做盈数或过剩数；恰好相等的（如6）叫做完全数，也称为完美数。

古希腊人非常重视完全数。大约在公元100年，尼可马修斯写了第一本专门研究数论的书《算术入门》，其中写道：“也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕见的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；所有盈数和亏数非常之多，而且紊乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成昌……，它们具有一致的特性：尾数是6或8，而且永远是偶数。”

现在数学家已发现，完全数非常稀少，至今人们只发现29个，而且都是偶完全数。前5个分别是：6，28，496，8128，33550336。

经过不少科学家的研究，现在已经发现，假如数2n－1，是素数，那么数2n－1·（2n－1）就一定是完全数，其中的n也同样是素数。为此，数学家就用英文Prime（素数）的第一个字母p代替n，还把形如2p－1的素数叫“默森尼数”。但是，对于下面两个问题：“偶完全数的个数是不是有限的？”“有没有完全数？”数学家到现在还没有解决。

完全数有许多有趣的性质，例如：

1.它们都能写成连续自然数之和：

6=1+2+3，28=1+2+3+4+5+6+7，496=1+2+3+4+……+31，8128=1+2+3+4+……+127；

2.它们的全部因数的倒数之和都是2。

11+12+13+16=2

11+12+14+17+114+128=2

11+12+14+18+116+131+162+1124+1248+1496=2