一、谁的脸上沾有泥巴
庄子与惠施的辩论，庄子与惠施在濠水的桥上游玩。
庄子说：“白鱼在河水中游得多么悠闲自得，这是鱼的快乐啊。”
惠施说：“你不是鱼，哪儿知道鱼的快乐呢？”
庄子说：“你不是我，怎么知道我不知道鱼的快乐呢？”
惠施说：“我不是你，固然不知道你；你本来就不是鱼，你不知道鱼的快乐，是可以肯定的！”
庄子说：“请从我们最初的话题说起。你说‘你哪儿知道鱼快乐’的话，说明你已经知道我知道鱼快乐而在问我，我是在濠水的桥上知道的。”
惠施反驳庄子：“你不是鱼，怎么能够‘知道’鱼的快乐呢？”
庄子则说：“你不是我，怎么‘知道’我‘不知道’鱼的快乐呢？”
惠施则说：“正因为我不是你，而‘不知道’你，可以推得你不是鱼，你‘不知道’鱼的快乐，是可以肯定的！”
庄子与惠施辩论的中心是，能否知道他人对事物的“知道”情况。庄子认为“能”，惠施则认为“不能”。
然而在他们的辩论中，存在他们两人都认可的东西，这些东西如：“你不是鱼”、“你不是我”、“我不是你”。
这些双方均认可的东西构成庄子与惠施辩论的前提。对于这些前提，庄子与惠施知道，并且知道对方知道，并且知道对方知道自己知道……这些被认可的前提是庄子与惠施之间的公共知识。
这个故事引出一个非常重要的概念——公共知识。
公共知识（commonknowledge）概念最早由美国逻辑学家刘易斯提出，经逻辑学家辛迪卡以及博弈论专家奥曼等人的发展，今天已经成为逻辑学、博弈论、人工智能等学科里频繁使用的一个概念。
公共知识是指某一个群体的知识。公共知识在我们日常对话、交流中起着非常重要的作用：它是交流和对话的起点——从已知的公共知识开始，同时也是交流、对话的终点——形成新的公共知识。当然，人们的误解也往往由于对某些公共知识的误解造成的——将本来不是公共知识的东西看成是公共知识。
一个群体与另外一个群体之所以不同，就在于它们拥有不同的公共知识。
那么什么是公共知识？
假定一个人群只有两个人A、B构成，A、B均知道一件命题p， p是A、B的知识，但此时p还不是他们的公共知识。当A、B双方均知道对方知道p，并且他们各自都知道对方知道自己知道p，此时我们说，p成了A、B之间的公共知识。
一般地，如果p是n人组成的群体G的公共知识，意即：群体中的每个人都知道p，并且群体中的每一个人都知道每个人知道p。
知识是相对于理性的主体而言的，传统上的知道逻辑是分析个体的认知结构。公共知识是相对于某一个群体而言的，此时要分析的是每个理性的人组成的群体的知识分布情况。
古希腊哲学家苏格拉底通过与他人的对话发现，自己与其他人的不同在于：“我知道自己无知。”
二、谁的脸上沾有泥巴
假设教室中有n个孩子，其中有m个孩子脸上有泥巴。这些孩子能够看到其他孩子脸上有泥巴，而看不到自己脸上有泥巴。
老师进教室对他们说：“你们中有人脸上有泥巴，知道自己脸上有泥巴的人请举手。”
假定孩子们之间没有信息交流，并假定他们都是逻辑学高手，能够进行逻辑推理。
当老师重复询问多少遍重复，才有孩子举手说“知道”，并且有多少个孩子同时举手？这就是著名的“脸上沾有泥巴的孩子之谜”（MuddyBoyPuzzle）。
我们假定这群孩子有10个。在老师未说话之前，这群孩子组成的群体的公共知识有哪些？比如：“每个孩子都有逻辑推理能力”，“每个孩子都听老师的话”，“老师所说的话是真的”，“每个人不知道自己脸上是否有泥巴”……
当老师进入教室后说，“你们有人脸上有泥巴”，群体的公共知识发生了变化。“你们有人脸上有泥巴”是指，至少有一个小孩的脸上有泥巴。
老师做了这个“公布”之后，“至少有一个小孩的脸上有泥巴”成了这群小孩之间的公共知识，即每个人都知道它，每个人都知道其他每个人都知道它。
老师问：“知道自己脸上有泥巴的人请举手。”无论有人举手还是没有人举手，每个人都能够观察到的。也就是说，老师问过之后，举手或不举手现象的发生都会改变公共知识。
如果这10个孩子中有1个孩子的脸上有泥巴，除了这个有泥巴的孩子不知道外，其他人都能够看到并且知道。
老师说“你们中有人脸上有泥巴”后，群体有了一个新的公共知识。脸上有泥巴的孩子看到其他孩子的脸上没有泥巴，他自然会推理得出结论：他的脸上有泥巴。而其他孩子不能判断自己的脸上是否有泥巴。
因此，当老师说“知道自己脸上有泥巴的人请举手”后，该孩子马上举手说“知道了”。
如果这10个孩子中有2个孩子的脸上有泥巴，尽管老师说了“你们中有人脸上有泥巴”，2个脸上有泥巴的孩子因看到另外一个孩子的脸上有泥巴，他不能得出自己的脸上有泥巴，其他8个孩子也不能得出。
因此，当老师说“知道自己脸上有泥巴的人请举手”后，所有孩子都没有举手。这表明这不是上述只有1个孩子的脸上有泥巴的情况。即10个孩子当中至少有2个孩子脸上有泥巴。
当第一次所有孩子都没有举手，这2个脸上有泥巴的孩子因只看到另外一个人的脸上有泥巴，马上推理出自己的脸上有泥巴。
因此，当老师第二次说：“知道自己脸上有泥巴的人请举手”，脸上有泥巴的2个孩子都举起了手。
如果这10个孩子的脸上都有泥巴，老师第10次说“知道自己脸上有泥巴的人请举手”，这10个孩子此时举起了手。
因此，这个脸上沾有泥巴的孩子之谜的答案是：假定有n个孩子的脸上有泥巴，老师第1次到m-1次说“知道自己脸上有泥巴的人请举手”，都没有学生举手（都不知道自己的脸上是否有泥巴），当第m次说“知道自己脸上有泥巴的人请举手”，所有脸上有泥巴的孩子都举起了手。
在竞争激烈的社会，我们要学会在不确定的情况下作出理性、一致的决策，而且应该或尽可能有效运用自己所知的一切。
三、“老师的生日”之谜
小李和小王都是张老师的学生，张老师的生日是M月D日，2人都知道张老师的生日是下列10组中的一天，这10组日期为：
3月4日，3月5日，3月8日；
6月4日，6月7日；
9月1日，9月5日；
12月1日，12月2日，12月8日。
张老师把M值即月份告诉了小李，把D值即日期告诉了小王，张老师问他们知道他的生日是那一天吗，小王说：“我不知道。”小李说：“本来我不知道，现在我知道了。”小王说：“现在我也知道了。”
答案是6月4日。
这个故事还是用来说明公共知识。有关公共知识的案例推理是如此有趣，然而又很费解。
这个故事的推理过程如下：
根据小王的话“我不知道”，张老师的生日不能是6月7日和12月2日。推理如下：
从上面10组日期中可知，张老师的生日的日期为1、2、4、5、7、8日中的一天。其中，1日、4日、5日、8日各出现2次：9月1日和12月1日，3月4日和6月4日，3月5日和9月5日，3月8日和12月8日；而2日和7日只出现1次：12月2日，6月7日。
张老师告诉了小王张老师的日期即D值。如果D值为7日或2日，小王马上能够确定出张老师的生日，因为这两日只有一个可能性。
因此，如果他说“知道”，表明张老师的生日或者是6月7日或者是12月2日。若D值为1、4、5、8日，小王无法根据他所知道的信息推得张老师的生日，因为这四个可能的D值都有两个具体的日期。
因此，小王说“不知道”表明张老师的生日不可能是6月7日或者是12月2日，否则的话，他应当说“知道”。
根据小李说的“本来我不知道，现在我知道了”，我们可知，张老师的生日只能是6月4日。推理如下：
小李知道张老师生日的月份，即他知道张老师的生日在3、6、9、12四个月中的一个确定的月份。
然而，3、6、9、12四个月中都有两个或三个可能的日期：在3月中有3月4日、3月5日和3月8日三个可能的日子，在6月中有6月4日、6月7日两个可能的日子，在9月中有9月1日、9月5日，12月中有12月1日、12月2日、12月8日。
虽然小李知道张老师生日的月份，比如说他知道张老师的生日在3月份，但是每个月份中有两个或两个以上的日子，如3月中有三个可能的日期：3月4日、3月5日和3月8日，小李无法知道张老师的生日为具体的哪一天。
这也是小李说“本来我不知道”的原因。
但是小王说“不知道”排除了张老师的生日为“6月7日”和“12月2日”的可能性。
这样，张老师的生日的可能日期减少了两个，其余日期如下：
3月4日，3月5日，3月8日。
6月4日。
9月1日，9月5日。
12月1日，12月8日。
这也是小李所能够分析到的。
小李听到小王说“不知道”后说“现在我知道了”表明，此时他能够确定具体的日子即D值。
在上面4个月份中有8组日期，而唯有在6月份，只有一个可能的日期即6月4日，其余的月份中有两个或三个可能的日期。
若张老师的生日在3、9、12这三个月份，小李是无法说他知道了张老师的生日的，张老师的生日只能在6月，小李才能说“现在我知道了”。
因此，小李说“现在我知道了”表明，张老师的生日只能在6月，即6月4日。
小王听到小李说“知道”后说“现在我也知道了”，表明小王根据小李给他的信息也推算出了张老师的生日。
在这个推理的过程开始，张老师生日的10组可能数字是双方的公共知识，M值为小李的知识，D值为小王的知识，M值和D值不是他们的公共知识。
当小王说“不知道”张老师的生日的之后，“张老师的生日不是6月7日和12月2日”便是他们间的公共知识。
而当小李说“本来我不知道，现在我知道了”之后，6月4日是张老师的生日便成了他们间的公共知识。
并不是所有的信息都要依靠间谍们舍生忘死的获取，因为，有些信息是公开的，这就是公共知识。
