这个hydra，我称它为“二阶段dropping hydra”（可以理解为新hydra的第二阶段，ps：这个第二阶段不等于上面定义的那个计算器里的φ（2）！它仍然属于φ（1）的范围！）。所谓dropping，指的是“对于一个括号表达式，向外找最近的包裹它的小于它的括号表达式”这样一个过程。从黑色顶点开始，经过2个这样的dropping过程，这就是二阶段dropping hydra。
第一阶段，仅仅是“找到最近白色祖先”，这一阶段没有添层规则参与。
第二阶段，就要用到添层规则了。
既然有“二阶段dropping hydra”，那么“一阶段dropping hydra”又是什么呢？
在一阶段dropping hydra中，除了根顶点以外，有0型顶点、1型顶点。0型顶点的归约规则跟“二阶段dropping hydra”中白色顶点的归约规则相同；1型顶点的归约规则跟“二阶段dropping hydra”中黑色顶点的归约规则有一点类似的地方。只不过，1型顶点所做的dropping只有1次，而且不用添层规则。
但是，如果谈论到对应的序数，那么“二阶段dropping hydra”中的黑色顶点之于白色顶点是非常高阶的东西，远高于“一阶段dropping hydra”中的1型顶点之于0型顶点。
一般而言，在“二阶段dropping hydra”中，黑色顶点第一次dropping后所得的白色顶点，可能对应。
1、α+1型顶点，其中第二次dropping所找到的顶点是α型顶点，这是第二次dropping没有用到添层规则的情况。
2、比第二次dropping所找到的顶点高阶得多的顶点，这是第二次dropping用到了添层规则的情况。
现在考虑一些顶点的“型”：
()是0型顶点
([])是1型顶点
([][])是2型顶点
([][][])是3型顶点
([()])是ω型顶点
([()][])是ω+1型顶点
([()][][])是ω+2型顶点
([()][()])是ω·2型顶点
([()()])是ω^2型顶点
([(())])是ω^ω型顶点
([((()))])是ω^ω^ω型顶点
([(([]))])是ε_0型顶点
([(([]))(([]))])是ω^(ε_0·2)型顶点
([(([])(([])))])是ω^ω^(ε_0·2)型顶点
([(([])([]))])是ε_1型顶点
([(([]()))])是ε_ω型顶点
([(([](([]))))])是ε_(ε_0)型顶点
([(([](([](([]))))))])是ε_(ε_(ε_0))型顶点
([(([]([])))])是φ_2(0)型顶点
([(([]([]))([]))])是ε_(φ_2(0)+1)型顶点
([(([]([]))([](([]([])))))])是ε_(φ_2(0)·2)型顶点
([(([]([]))([]([])))])是φ_2(1)型顶点
([(([]([])()))])是φ_2(ω)型顶点
([(([]([])([])))])是φ_3(0)型顶点
([(([]([]())))])是φ_ω(0)型顶点
([(([]([](([])))))])是φ_{ε_0}(0)型顶点
([(([]([]([]))))])是Γ_0型顶点
([(([]([]([])))([]))])是ε_(Γ_0+1)型顶点
([(([]([]([])))([]([]())))])是φ_ω(Γ_0+1)型顶点
([(([]([]([])))([]([](([]([]([])))))))])是φ_{Γ_0}(1)型顶点
([(([]([]([])))([]([](([]([]([])))))([])))])是φ_{Γ_0+1}(0)型顶点
([(([]([]([])))([]([](([]([]([])))))([](([]([]([])))))))])是φ_{Γ_0·2}(0)型顶点
([(([]([]([])))([]([]([]))))])是Γ_1型顶点
([(([]([]([]))()))])是Γ_ω型顶点
([(([]([]([]))([])))])是φ(1，1，0)型顶点
([(([]([]([]))([]))([]([]([]))([])))])是φ(1，1，1)型顶点
([(([]([]([]))([])([])))])是φ(1，2，0)型顶点
([(([]([]([]))([]())))])是φ(1，ω，0)型顶点
([(([]([]([]))([]([]))))])是φ(2，0，0)型顶点
([(([]([]([])())))])是φ(ω，0，0)型顶点
([(([]([]([])([]))))])是φ(1，0，0，0)型顶点
([(([]([]([])([])))([]([]([])([]))))])是φ(1，0，0，1)型顶点
([(([]([]([])([]))()))])是φ(1，0，0，ω)型顶点
([(([]([]([])([]))([])))])是φ(1，0，1，0)型顶点
([(([]([]([])([]))([]())))])是φ(1，0，ω，0)型顶点
([(([]([]([])([]))([]([]))))])是φ(1，1，0，0)型顶点
([(([]([]([])([]))([]([]))([]([]))))])是φ(1，2，0，0)型顶点
([(([]([]([])([]))([]([])())))])是φ(1，ω，0，0)型顶点
([(([]([]([])([]))([]([])([]))))])是φ(2，0，0，0)型顶点
([(([]([]([])([])())))])是φ(ω，0，0，0)型顶点
([(([]([]([])([])([]))))])是φ(1，0，0，0，0)型顶点
([(([]([]([]()))))])是SVO型顶点
([(([]([]([]([])))))])是LVO型顶点
([(([][]))])、([(([]([][])))])是BHO型顶点
如果谈论到对应的序数，那么“二阶段dropping hydra”中的黑色顶点之于白色顶点是非常高阶的东西，远高于“一阶段dropping hydra”中的1型顶点之于0型顶点。
()是0型顶点。
([])是1型顶点。
而黑色顶点[]本身，自然就要对应更加强大的某种东西。
[]比所有([])、([[]])、([[[]]])、([[[[]]]])、……都要高阶。
继续。
([(([]([][])))])是ψ_0(Ω_2)型顶点
([(([]([][]))([]))])是ψ_0(Ω_2+Ω_1)型顶点
([(([]([][]))([]([])))])是ψ_0(Ω_2+Ω_1^2)型顶点
([(([]([][]))([]([]([]))))])是ψ_0(Ω_2+Ω_1^(Ω_1))型顶点
([(([]([][]))([]([][])))])是ψ_0(Ω_2+ψ_1(Ω_2))型顶点
([(([]([][]))([]([][]))([]([][])))])是ψ_0(Ω_2+ψ_1(Ω_2)·2)型顶点
([(([]([][])()))])是ψ_0(Ω_2+ψ_1(Ω_2+1))型顶点
([(([]([][])([])))])是ψ_0(Ω_2+ψ_1(Ω_2+Ω_1))型顶点
([(([]([][])([]([]))))])是ψ_0(Ω_2+ψ_1(Ω_2+Ω_1^2))型顶点
([(([]([][])([]([][]))))])是ψ_0(Ω_2+ψ_1(Ω_2+ψ_1(Ω_2)))型顶点
([(([]([][])([]([][])())))])是ψ_0(Ω_2+ψ_1(Ω_2+ψ_1(Ω_2+1)))型顶点
([(([]([][])([]([][])([]([][])))))])是ψ_0(Ω_2+ψ_1(Ω_2+ψ_1(Ω_2+ψ_1(Ω_2))))型顶点
([(([]([][])([][])))])是ψ_0(Ω_2·2)型顶点
([(([]([][])([][]))([]([][])([][])))])是ψ_0(Ω_2·2+ψ_1(Ω_2·2))型顶点
([(([]([][])([][])([][])))])是ψ_0(Ω_2·3)型顶点
([(([]([][]())))])是ψ_0(Ω_2·ω)型顶点
([(([]([][]([]))))])是ψ_0(Ω_2·Ω_1)型顶点
([(([]([][]([][]))))])是ψ_0(Ω_2^2)型顶点
([(([]([][]([][]([][])))))])是ψ_0(Ω_2^Ω_2)型顶点
([(([]([][]([][][]))))])、([(([][]([][][])))])、([(([]([][][])))])、([(([][][]))])是ψ_0(Ω_3)型顶点
([(([][][][]))])是ψ_0(Ω_4)型顶点
([(([()]))])是ψ_0(Ω_ω)型顶点
一般而言，如果组成A的括号表达式、组成A的括号表达式的子括号表达式都是白色顶点，那么([A])是型顶点，这里就直接用hydra与序数的对应了。
比如，([(([()]))])是<(([()]))>型顶点，继续：
([(([(([]))]))])是<(([(([]))]))>型顶点
([(([(([(([]))]))]))])是<(([(([(([]))]))]))>型顶点
……
这个序列的极限就无法用普通的多少型顶点来表示了，因为接下来，([([])])的“型”相当于([])，要超过所有“在本记号中定义到的常规的递归序数”。
“在本记号中定义到的常规的递归序数”都可以用某个0型顶点内部增加α型顶点来表示。而([])就不是“在本记号中定义到的常规的递归序数”。
但我们还是可以说，
([([])])是([])型顶点，
这里跟用(|)表示的那个hydra里面出现的概念是一样的。
(((|)|)|)的“型”超过所有“在本记号中定义到的常规的递归序数”，
但还是可以说，(((|)|)|)是((|)|)型顶点。
([([])])或者(((|)|)|)附近的hydra的类型是非常神奇的。
比如<(([([])])([([])]))>[n]
=<(([([])])([(([([])])([…(([([])])([(([([])])([]))]))…]))]))>[n+1]
假想一下，它再经过大量的归约，可以得到
<(([([])])([(([([])]))]))>
<(([([])])([(([([])])([(([([])]))]))]))>
<(([([])])([(([([])])([(([([])])([(([([])]))]))]))]))>
等hydra。
这些hydra里面有一些类型非常高却仍是“在本记号中定义到的常规的递归序数”的顶点。
比如([(([([])]))])是<(([([])]))>型顶点
([(([([])])([(([([])]))]))])是<(([([])])([(([([])]))]))>型顶点
([(([([])])([(([([])])([(([([])]))]))]))])是<(([([])])([(([([])])([(([([])]))]))]))>型顶点
这些类型是可以超过<(([([])]))>的，甚至可以超过<(([[]]))>、<(([[[]]]))>、<(([[[[]]]]))>等等。
类型([([[]])])+1的顶点，是([([[]])][])。在这附近，又会出现一种前所未见的现象。
<(([([[]])]([([[]])][])))>[n]
=<(([([[]])]([([[]])]…([([[]])]([([[]])]))…)))>[n+1]
（最右边[]第一次dropping得到([([[]])][])，第二次dropping得到([([[]])]([([[]])][]))，恰好等于([([[]])][])的“界限”）
但同时
<(([([[]])]([[]])))>[n]
=<(([([[]])]([([[]])]…([([[]])]([([[]])]))…)))>[n+1]
（最右边[]第一次dropping得到([[]])，第二次dropping得到([([[]])]([[]]))，大于([[]])的“界限”([([[]])])）
不仅如此，([([[]])]([([[]])][]))跟([([[]])]([[]]))，即使它们的“大小”不同，但按归约方法其实是完全等同的！
这个古怪的现象，准确描述是这样的：
设H、I都是子树，它们的根都是白色顶点，它们最右边的头部都是黑色且第一次dropping就得到H或I，满足H < I，而H的“界限”大于I的“界限”。
当(PHZ)≥ H的“界限”时，虽然H和I不同，但(PHZ)和(PIZ)都将归约成同样的子树。
继续。
([([[]])][])是([([[]])])+1型顶点
([([[]])][][])是([([[]])])+2型顶点
([([[]])][()])是([([[]])])+ω型顶点
([([[]])][([])])是([([[]])])+([])型顶点
([([[]])][([([])])])是([([[]])])+([([])])型顶点
([([[]])][([([[]])])])是([([[]])])·2型顶点
([([[]])][([([[]])])])是([([[]])])·2型顶点，或者说([([[]])]([([[]])]))型顶点
([([[]])][([([[]])])()])是([([[]])]([([[]])]()))型顶点
([([[]])][([([[]])])([([[]])])])是([([[]])]([([[]])]([([[]])])))型顶点
([([[]])][([([[]])]([([[]])]))])是([([[]])]([([[]])]([([[]])]([([[]])]))))型顶点
([([[]])][([([[]])]([([[]])][]))])是([([[]])]([([[]])][]))型顶点
([([[]])][([([[]])][])])是([([[]])][])型顶点，此类型的根又是([([[]])])+1型顶点
([([[]])][([([[]])][([([[]])][])])])是([([[]])][([([[]])][])])型顶点，此类型的根又是([([[]])][])型顶点，此类型的根又是([([[]])])+1型顶点
([([[]])][([[]])])是([([[]])][([[]])])型顶点——这是第2个“类型不动点”。
第3个“类型不动点”：([([[]])][([[]])][([[]])])
第ω个“类型不动点”：([([[]])()])
第ψ_0(Ω_ω)个“类型不动点”：([([[]])(([()]))])
第([])个“类型不动点”：([([[]])([])])
第([([])])个“类型不动点”：([([[]])([([])])])
第([([[]])])个“类型不动点”：([([[]])([([[]])])])
第([([[]])][([[]])])个“类型不动点”：([([[]])([([[]])][([[]])])])
第([([[]])([([[]])])])个“类型不动点”：([([[]])([([[]])([([[]])])])])
而([([[]])([[]])])，则是第([([[]])([[]])])个“类型不动点”…………………………………………
…………………………（你们自己悟吧~）
……
无关的题外话：OCF ≈ Pi^1_2-CA_0 < Pi^1_∞-CA_0 =二阶算术<三阶算术< n阶算术(所有n都可取)= Loader函数极限= CoC < ZFC < ZFC+不可达基数< ZFC+Mahlo基数< Finite promise games < ZFC+完全不可描述基数< Friedman's finite trees < USGDCS < ZFC+Woodin基数< ZFC+巨大基数< USGDCS_2 < ZFC+I3 < ZFC+I0 <<∑函数
