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Zermelo-Fraenkel集理论公理
（从过渡性ZFC模型重定向）
Zermelo-Frankel集理论与选择公理（ZFC）是集合理论家使用公理的标准集合。用于表达每个公理的正式语言是一阶的，具有平等性（==）和一个二进制关系符号，∈∈，意在表示集合成员资格。零集公理和分离模式被后来更具包容性的公理所取代。
公理
扩展性
集合由其元素唯一确定。这正式表示为
?x?y(?z(z∈xz∈y)→x=y).?x?y(?z(z∈xz∈y)→x=y).
“→→”可以替换为“”，但是←←方向是一个逻辑定理。或者，可延伸性公理可以作为平等的定义，也可以用它来代替它：
?x?y(?a(a∈xa∈y)→?b(x∈by∈b))?x?y(?a(a∈xa∈y)→?b(x∈by∈b))
意味着具有相同元素的集合属于相同的集合。
空集
有一些集合。事实上，有一套没有成员。这是正式表达的
?x?y(y?x).?x?y(y?x).
这样一个x按扩展性是唯一的，此集合表示为??。
配对
对于任何两套xx和yy（不一定不同）还有一套zz谁的成员正是布景？xx和yy。
?x?y?z?w(w∈z(w=x∨w=y)).?x?y?z?w(w∈z(w=x∨w=y)).
这样一个z因扩展性而独一无二，并表示为{x，y}{x，y}。
工会
对于任何一套xx还有一套yy其成员正是所有成员xx。也就是说，集合的所有成员的联盟都存在。这正式表示为
?x?y?z(z∈y?w(w∈x∧z∈w)).?x?y?z(z∈y?w(w∈x∧z∈w)).
这样一个y因扩展性而独一无二，并被写成y=?xy=?x。
基础（或规律性）
每套非空集x成员与x，确保任何集合都不能直接或间接包含自己。这正式表示为
?x≠??y∈x??z(z∈x∧z∈y).?x≠??y∈x??z(z∈x∧z∈y).
同样，根据选择公理，没有无限的降序?∈x2∈x1∈x0?∈x2∈x1∈x0。
分离模式
对于任何一套aa和任何谓词P(x)P(x)用ZFC的语言写，集合{x∈a:P(x)}{x∈a:P(x)}存在。更详细地说，给定任何公式φ有自由变量x1，x2，…，xnx1，x2，…，xn以下是一个公理：
?a?x1?x2…?xn?y?z(z∈y(z∈a∧φ(x1，x2，…，xn，z))?a?x1?x2…?xn?y?z(z∈y(z∈a∧φ(x1，x2，…，xn，z))
这样一个y，以扩展性独一无二，并被写入（适用于固定集）a，x1…，xna，x1…，xn）y={z∈a:φ(x1，x2，…，xn，z)}y={z∈a:φ(x1，x2，…，xn，z)}。
到目前为止，我们无法证明无限集的存在。即?Vω，∈?是前五个公理和无限多分离实例的模型。每个成员Vω事实上是有限的Vω是世袭有限集的集合。这基本上是标准模型?。
无限
有无限的集合。这正式表示为
?x(?∈x∧?z(z∈x→z∪{z}∈x).?x(?∈x∧?z(z∈x→z∪{z}∈x).
此时我们可以定义ω，+，ω，+，和??在ωω，得出基本事实ω以及数学归纳原理ω（即，我们可以证明皮亚诺公理在?ω，+，???ω，+，??）。但我们还不能证明一个数不清的集合的存在。
电源设置
对于任何一套x还有一套y作为成员，所有子集x没有其他元素。y是电源集x。这正式表示为
?x?y?z(z∈y?w(w∈z→w∈x))?x?y?z(z∈y?w(w∈z→w∈x))
[独特的yy写成y=(x)y=P(x).]
定义有序对(a，b)(a，b)是{{a}，{a，b}}{{a}，{a，b}}。关系作为有序对的集合，函数作为关系ff以至于(a，b)∈f(a，b)∈f和(a，c)∈f(a，c)∈f暗示b=cb=c。
选择
这个公理有很多公式。这是历史上最具争议的公理ZFCZFC。
?x[?y(y∈x→y≠?)→?f(domf=x∧?a∈x(f(a)∈a))]?x[?y(y∈x→y≠?)→?f(dom?f=x∧?a∈x(f(a)∈a))]
Zermelo（1908年）明确阐述了上述公理产生的理论。大多数经典数学都可以在这个理论中进行，但令人惊讶的是，没有比(ω?2)(ω?2)可以证明存在于这一理论中（至少对Zermelo来说是这样，他只是忽视了Frankel和其他人发现的下一个公理）。
替换模式
如果aa是一套，对所有人来说x∈ax∈a有一个独特的y以至于(x，y)(x，y)满足给定的财产，然后收集此类财产y这是一套。更详细地说，给定一个公式φ(x1，…，xn，x，y)φ(x1，…，xn，x，y)以下是替换模式的实例：
?a?x1…?xn[(?x∈a?!yφ(x1，…，xn，x，y))→?z?w(w∈z?u∈aφ(x1，…，xn，u，w))].?a?x1…?xn[(?x∈a?!yφ(x1，…，xn，x，y))→?z?w(w∈z?u∈aφ(x1，…，xn，u，w))].
更换申请
替换公理证明，每个有序集都与（唯一）序数同构。
证明。只需为每个世界展示这一点。?L，<L??L，<L?和每个l∈Ll∈L，L<l={m∈L:m<Ll}?L<l={m∈L:m<Ll}?到（独特的）序号f(l)f(l)。修复l∈Ll∈L，ll最不反例。然后ff定义在L<lL<l通过替换，ran(f?L<l)ran(f?L<l)是一套序数AA。从关于序数和顺序的基本事实来看，很容易看出AA是序号αα。如果ll是LL然后L<l?α+1L<l?α+1。如果ll是限制LL，那么L<l?αL<l?α。
?x?α(x∈Vα)?x?α(x∈Vα)。
对于所有序数α，?α存在（即为每个α至少有α+1α+1-许多无限红衣主教）。
此外，置换公理也证明了分离公理，反过来又证明了空集公理。此外，与功率集公理一起证明了配对公理。
ZFC的一致性
断言Con(ZFC)Con(ZFC)是理论的断言ZFC是一致的。这是一个复杂的断言Π01Π10在算术中，因为它断言每个自然数都不是哥德尔代码，证明来自ZFC。由于G?del完整性定理，该断言等同于该理论ZFC有模型?M，∈???M，∈^?。其中一种模型是Henkin模型，该模型基于任何完全一致的Henkin理论扩展的句法程序ZFC。一般来说，人们可能不会认为∈?∈^是实际集成员关系，因为这将使模型成为ZFC，其存在比Con(ZFC)Con(ZFC)。
哥德尔不完全性定理意味着如果ZFCZFC是一致的，那么它就不能证明Con(ZFC)Con(ZFC)，因此这个公理的添加严格来说比ZFC独自一人。
表达方式Con2(ZFC)Con2(ZFC)表示断言Con(ZFC+Con(ZFC))Con(ZFC+Con(ZFC))，更笼统地迭代这一点，人们可能会考虑这种说法Conα(ZFC)Conα(ZFC)每当α本身是可以表达的。
及过渡模型
一种传递模型ZFCZFC是一套及物MM以至于结构?M，∈??M，∈?满足所有ZFC集合理论公理。这种模式的存在严格来说比Con(ZFC)Con(ZFC)比迭代一致性层次结构更强大，但比世俗红衣主教、红衣主教的存在更弱κκ为了哪个VκVκ是ZFC，因此也比无法接近的红衣主教的存在更弱。并非所有及物动词模型ZFCZFC有Vκ形式，因为如果有任何及物模型ZFC，然后通过L?wenheim-Skolem定理和Mostowski崩溃引理，有一个可数的这种模型，这些模型从来没有形式Vκ。
尽管如此，每个及物动词模型M的ZFC提供了一个集合理论论坛，在这个论坛中，人们可以看到几乎所有正在进行的经典数学。在这个意义上，普通集理论结构无法访问或无法访问此类模型。因此，存在一个ZFC可以被视为一个大的基数公理：它表达了一个大的概念，这种模型的存在在ZFC并具有严格超越的一致性强度ZFCZFC。
最小及物模型ZFC
如果有任何及物模型M的ZFC，那么LM，计算在M，也是ZFC事实上，有表格Lη，哪里η=ht(M)η=ht(M)是高度M。最小及物模型ZFC是模型Lη，哪里η最小，以至于这是一个模型ZFC。刚才给出的论点表明，最小及物模型是所有其他及物模型的子集ZFC。
它的高度比最不稳定的序数要小，尽管ZFC中可以证明存在稳定序数，而传递模型的存在则不然。
ω-模型ZFC
安ω-模型ZFC是ZFC其自然数的集合与实际自然数同构。换句话说，一个ω-模型是一个没有非标准自然数的模型，尽管它可能有非标准序数。（更一般地说，对于任何序号α，一个α-模型至少有基础良好的部件α。）每个及物模型ZFC是一个ω-模型，但后一个概念严格来说更弱。
一致性层次结构
存在一个ωω-模型ZFCZFC并暗示Con(ZFC)Con(ZFC)当然，还有Con(ZFC+Con(ZFC))Con(ZFC+Con(ZFC))以及大部分迭代一致性层次结构。这只是因为如果M?ZFCM?ZFC并有标准的自然数，然后M同意Con(ZFC)Con(ZFC)坚持，因为它的证据与我们在环境背景下的证据相同。因此，我们认为M满足ZFC+Con(ZFC)ZFC+Con(ZFC)因此，我们相信Con(ZFC+Con(ZFC))Con(ZFC+Con(ZFC))。接下来M同意这种一致性主张，所以我们现在相信Con3(ZFC)Con3(ZFC)。模型M因此同意，所以我们相信Con4(ZFC)Con4(ZFC)等等，只要我们能够以一种M正确解释它们。
每个有限的碎片ZFC由于反射定理，允许许多传递模型。
及过渡模型和强迫
历史上，集合理论的可数传递模型被用作将强迫形式化的便捷方式。这种模型M使强迫理论变得方便，因为人们可以很容易地证明，对于每个部分订单?英寸M，有一个M-通用过滤器 G??G?P，只需列举?英寸M按可数顺序?Dn∣n<ω??Dn∣n<ω?，并构建降序p0≥p1≥p2≥?p0≥p1≥p2≥?，与pn∈Dnpn∈Dn。过滤器GG序列生成的是M通用。
为了证明一致性，这种形式化效果很好。显示Con(ZFC)→Con(ZFC+φ)Con(ZFC)→Con(ZFC+φ)，修复了一个有限的片段ZFC并使用合适的大碎片的可数传递模型，产生φ在强制扩展中包含所需的碎片。
及物模型宇宙公理
及物模型宇宙公理是断言每组都是ZFC。这个公理比费弗曼理论提出了更强有力的主张，因为它被断言为单一的一阶主张，但比宇宙公理更弱，宇宙公理断言宇宙有形式Vκ对于无法接触到的cardinalκκ。
传递模型宇宙公理有时在背景理论中研究，而不是ZFC，但对于ZFC-P，省略了幂集公理，以及断言每个集都是可数的公理。这种事业相当于采用后一种理论，不是作为数学的基本公理，而是作为研究多元宇宙视角的背景元理论，调查各种实际集理论宇宙、完整的及物模型ZFC，彼此相关。
每个型号ZFC包含一个模型ZFC作为一个元素
每个模型M的ZFC有一个元素N，它认为这是集合理论语言中的一阶结构，是集合理论的模型ZFC，从外部看M。这在以下情况下是显而易见的M是一个ω-模型ZFC，因为在这种情况下M同意ZFCZFC是一致的，因此可以构建一个亨金模型ZFC。在其余情况下，M有非标准自然数。通过反射定理应用于M，我们知道Σn碎片ZFC在表单模型中是正确的VMβVβM，对于每个标准自然数n。自从M无法确定其标准切割，因此必须有一些非标准切割nn为了哪个M认为一些VMβVβM满足（非标准）Σn碎片ZFC。自从n是非标准，这包括完整的标准理论ZFC，根据需要。
前一段中提到的事实偶尔会被一些初创理论家发现令人惊讶，也许是因为这个结论天真地似乎与这样一个事实相矛盾，即可能存在模型ZFC+?Con(ZFC)ZFC+?Con(ZFC)。然而，通过意识到尽管模型N里面M实际上是一个完整的模型ZFC，模型M无需同意这是ZFC，如果M具有非标准自然数，因此非标准长度公理ZFC。
数不清的及物模型
回想一下，L?wenheim-Skolem定理和Mostowski崩溃引理表明，如果ZFC有一个传递模型（或其他集合理论），那么就有一个可数的此类模型。这意味着LL每个不可数的传递模型都是ZFC+的模型V=LV=L+“ZFC+有一个可数的传递模型V=LV=L?这个理论中有一些可数的传递模型，它们必须比最小模型具有更高的高度。同样，也有理论的传递模型，断言不同高度的可数可数传递模型，直到ω1ω1（其意义取决于模型：一般来说ωM11≠ωM21ω1M1≠ω1M2）。此外，还有及物理论模型断言“有ααZFC+的可数传递模型“有ω1不同高度的ZFC可数传递模型?不同高度?等。因此，如果有一个不可数的传递模型，那么“真的很多”（在“等”建议的非正式含义中）可数传递模型，它们在ω1ω1（否则他们不可能有ω1ω1不同的高度）。
假设在VV我们有一个基数高度的及物模型κκ。我们可以把每个数不清的继任者变成红衣主教λ+≤κλ+≤κ进入ω1ω1通过强迫（在V[G]V[G]）。在V[G]V[G]，及物模型不受限制ωV[G]1ω1V[G]（=(λ+)V≤κ=(λ+)V≤κ）。传递模型的可构造宇宙（Lht(M)Lht(M)）是ZFC+的型号V=LV=L它是L哪个很常见V和V[G]V[G]。所以ZFC+的型号V=LV=L无限(λ+)V(λ+)V英寸V。他们中的一些人具有高度的基数λλ他们“很多”。因此，如果有基数高度的传递模型κκ，然后有“非常多”所有基数高度的及物模型λ<κλ<κ。
特别是，ZFC模型（和ZFC+“ZFC模型是无界的”等）在Vκ为了世俗κ，就像在Vκ无法访问κ有世俗、世俗、超世俗等cardinal。
