第6章 倒推法(2)

现在有另外一个企业B准备从事房地产开发。面对着B要进入其垄断的行业，A想：一旦B进入，A的利润将受损很多，B最好不要进入。所以A向B表示，你进入的话，我将阻挠你进入。假定当B进入时A阻挠的话，A的利润降低到2亿，B的利润是一1亿。而如果A不阻挠的话，A的利润是4亿，B的利润也是4亿。

这是房地产开发商之间的博弈问题。A的最好结局是“B不进入”，而B的最好结局是“进入”而A“不阻挠”。但是，这两个最好的结局却不能同时得到。那么结果是什么呢？

A向B发出威胁：如果你进入，我将阻挠。而对B来说，如果进入，A真的阻挠的话，它将受损失-1（假定-1是它的机会成本），当然此时A也有损失。对于B来说，问题是：A的威胁可信吗？

28．分牛【中级】

从前有个农民，一生养了不少牛。去世前留下遗嘱：牛的总数的一半加半头给儿子，剩下的一半加半头给妻子，再剩下的一半加半头给女儿，再剩下的一半加半头宰杀了犒劳帮忙的乡亲。农民去世后，他们按遗嘱分完后正好一头不剩。他们各分了多少头牛？

29．傲数学题【高级】

有这么一个数，当它加上100后，所得的数是一个正整数的平方，然后用所得的数，再加上68，又是另外一个正整数的平方。你能算出这个数是多少吗？

30．警察抓小偷【高级】

在这个游戏里，警察（灰色的点）在抓小偷（黑色的点）。警察先移动，然后交替着移动，从一个圆圈到相邻的圆圈。如果警察移动时可以把灰点放到黑点上，那么他就抓住了小偷。警察能否在十步之内抓住小偷？

31．有趣的赌博【高级】

杰克和杰瑞在玩一个小小的赌博游戏。杰克开始分牌，并且定下了如下规则：第一局输的人，输掉他所有钱的1／5；第二局输的人，输掉他那时拥有的1／4；而第三局输的人，则须支付他当时拥有的1／3。

于是他们开始玩，并且互相间准确付了钱。第三局杰瑞输了，付完钱后他站起来说：“我觉得这种游戏投入的精力过多，回报太少。直到现在我们之间的钱数，总共才相差7元钱。”这自然是很小的赌博，因为他们合起来一共也只有75元钱的赌本。

试问，在游戏开始的时候杰克有多少钱呢？

32．失落的数字【高级】

把失落的数字补上，使方程式成立。

33．魔术【高级】

有一天，豆子和小羽在看电视上的一个魔术节目。魔术师邀请了5位现场观众上来参与表演，他先让观众检查他手上的牌有没有问题，然后请观众在52张扑克牌中任选25张。魔术师将这25张牌分成5组，要5位观众各选一组，再从各自选择的那组中选出一张“记在心里”，就是不可以跟任何人讲，没有人知道观众心里记的是什么牌，当然，魔术师也不知道。这时候，魔术师将25张牌收回来，然后开始洗牌，只见其手法利落，纸牌如飞般地重新编组，然后他又将牌分成5组，先拿出第一组5张，问5位观众，是否这5张中有他们心中的牌。若有则点头，但不需说出是哪一张；若无则摇头。当然，第一组牌问完后又问第二组牌，以此类推。然后魔术师将手中的牌分组后，在5个观众面前分别放一张牌，然后问观众，是否这张牌就是他们心中的牌。当然，结果就是他们心中记忆的牌。电视机旁的小羽拼命鼓掌。“这不过是巧用数学罢了，”在一旁沉思已久的豆子兴奋地说，“如果我有他的洗牌技术，我也可以表演这个魔术。”请问：豆子说的是真的吗？

答案

1．比赛的成绩

是可以的。如果第一次比赛的成绩排名是：甲，乙，丙，丁；第二次是：乙，丙，丁，甲；第三次是：丙，丁，甲，乙；第四次是：丁，甲，乙，丙。那么，甲比乙成绩高的三次是第一、三、四次；乙比丙成绩高的三次是第一、二、四次；丙比丁成绩高的是第一、二、三次；丁比甲高的是第二、三、四次。

2．公主选婿

本题用倒推法，可以很容易知道第三个人得到6个李子。第二个人之前是14个，最开始有30个。

3．加入单位

300（米）+700（米）=1（千米）

240（小时）-24（小时）=9（天）

4．各行了多少公里

8000公里。车行驶时用4个轮胎，也就是4个轮胎各行了10000公里，共行了40000公里。如果5个轮胎均匀使用，即40000／5=8000公里。

5．分摊的费用

乙给甲44元，丙给甲67元（根据三人所乘车的路程平均分配）。

6．瓶子的容积

首先，测出瓶底的直径。这样就能够算出瓶底的面积。然后测液体的高度。再颠倒瓶子，测其中空气的高度。把它们加起来后乘上瓶底面积，就是瓶子的体积了。

7．如何换轮胎

把这8个轮胎编上号码，每过5000公里，就换一次轮胎，这样所有轮胎可以使用4次。换轮胎的顺序如下：123，124，134，234，456，237，567，568，578，678。这样，正好可以行驶5万公里。

8．要钱币

你说：你不会给我5角硬币和1角硬币。

9．关于岁数的回答

儿子5岁，女儿1岁，她25岁，她老公50岁。

193．加符号

1×2+3×4+5×6+7+8-9=50

1+2+（3+4）×5+6+7+8-9=50

123-4×5×6+7×8-9=50

10．猎人的挂钟

猎人两次经过电信局的时间分别是900和1000，说明他采购的时间是1个小时。而他全程的时间是从635～1035，一共4个小时。也就是说他从家走到电信局用了（4-1）／2=15小时。到达电信局的准确时间是900，所以出发的时候应该是730，到家的时间应该是1130。

11．时钟的问题

12个小时中有11次重合的机会。而这些机会是均等的，所以每隔12／11小时就会出现一次。具体时刻大家可以自己推算出来。

12．三针重合

也许你还在进行烦琐的计算吧，而且算起来也颇费力，其实只有一种可能，那就是只有在三个指针都指向12的时候，三针才会完全重合。所以一天内只有两次。

13．爬行的乌龟

每只乌龟从开始爬动到相聚要走300厘米，需爬行时间为300秒。

14．聪明的匪徒

应该从头目后面第4个人开始数起。

思考方法：先从任意一个人开始点名，直到剩下最后一个人，记下这个人的位置。然后数一下最后剩下的人与匪徒头目的距离，把第一个点名的人向相同方向移动这个距离开始数即可。这样最后剩下的就是这名头目了。

15．打气球

如果10个气球都是甲打的，那乘以2应该是20。现在是26，说明有6个被乘以了3，所以乙打了6个，而甲打了4个。

16．换不开

1枚50美分、1枚25美分和4枚10美分。

17．字母分别代表什么

A代表2，B代表1，C代表9，D代表7，E代表8。

18．韩信点兵

他至少带了2519个兵。要想每排人站齐，人数必须是每排人数的倍数，也就是只有10、9、8、7……2的公倍数，才能做到无论怎样排都是整排的。10、9……2的最小公倍数是2520。所以韩信的兵数至少是2519人。

19．投资问题

250万元买1／3的股份，那么，总资产应该是750万元。由于甲掌握的股份是乙的15倍，那么，他的股份是450万，乙的是300万。如果让三位合作伙伴股权相等，都是250万，那么甲应该得到200万，乙应该得到50万。

20．称重

两个砝码放左边，右边放糖，平衡后把左边的砝码换成糖，左边应该是1千克。

21．疯狂飙车

两兄弟交换了他们的车进行比赛。

22．兔子背胡萝卜

先背50根到25米处，这时，吃了25根，还有25根，放下。回头再背剩下的50根，走到25米处时，又吃了25根，还有25根。再拿起地上的25根，一共50根，继续往家走，还剩25米，要吃25根，到家时剩下25根。

23．见面分一半

一共有5位神仙分走了小猴子的桃子。最后剩下1个，则遇到最后一个神仙时还有（1+1）×2=4个；遇到第四个神仙时有（4+1）×2=10；遇到第三个神仙时有（10+1）×2=22；遇到第二个神仙时有（22+1）×2=46；最开始有（464-1）×2=94。所以小猴子原来有94个桃子。

24．分面粉

第一次，在天平的左边放两个砝码2+7=9克，右边放9克面粉。

第二次，在天平的左边放7克的砝码和刚量出的9克面粉，7+9=16克，右边放16克面粉。

第三次，在天平的左边放前两次分出的9+16：25克面粉，右边放25克面粉。

两个25克的面粉混合在一起，即得50克，剩下的为90克，分配完毕。

测出的面粉还可以当做砝码来测量物品．所以只要用2、7及它们的和9凑出25即可，很简单，7+9+9=25。

25．聪明的贩马人

他就带了2匹马。

26．大赛的冠军

他是这样推论的：设另外两个人分别为甲和乙。

甲举手了，这说明我和乙两人中，至少有一个人是戴红帽子的。

同样，乙举手了，这说明我和甲两人中，至少有一个人是戴红帽子的。

如果我头上不是戴红帽子，那么，乙一定会想：“甲举了手，说明乙和我至少有一个人头上戴红帽子，现在，乙明明看到我不戴红帽子。所以，乙一定戴红帽子。”在这种情况下，乙一定会知道并说出自己戴红帽子。可是，他并没有说自己戴红帽子。可见，我头上戴的是红帽子。

同理：如果我不是戴红帽子，甲的想法也会和乙是一样：“乙举了手，这说明甲和我两人中至少有一个人头上戴红帽子。现在，甲明明看到我头上不戴红帽子。所以，甲一定戴红帽子。”在这种情况下，甲一定会知道自己戴红帽子，可是，甲并没有这样说。所以，我头上戴的是红帽子。

27．倒推法博弈

B通过分析得出：A的威胁是不可信的。原因是：当B进入的时候，A阻挠的收益是2，而不阻挠的收益是4。4>2，理性人是不会选择做非理性的事情的。也就是说，一旦B进入，A的最好策略是合作，而不是阻挠。因此，通过分析，B选择了进入，而A选择了合作。双方的收益各为4。

在这个博弈中，B采用的方法为倒推法，或者说逆向归纳法，即当参与者作出决策时，他要通过对最后阶段的分析，准确预测对方的行为，从而确定自己的行为。

在这里，双方必须都是理性的。如果不满足这个条件，就无法进行分析了。

另外，作为A，从长远的利益出发，为了避免以后还有人进入该市场，A会宁可损失，也要对进入者做些惩罚。这样的话，就会出现其他结果。大家可以继续深入思考一下。

28．分牛

因为“剩下的一半加半头宰杀犒劳帮忙的乡亲”，只有剩下1头时，一半加半头才能正好一头不剩地分完。所以可以推出，一共15头，分别分到了8、4、2、1头。

29．做数学题

这个数是156。

30．警察抓小偷

小偷将一直领先一步，除非警察改变游戏的奇偶性。这点警察可以做到，只要他走过三角形街区一次。

31．有趣的赌博

第三局结束后，两人钱数之和是75元。之差是7元，所以，最后一个有41元，一个有34元。由于只有34能被2整除，而杰瑞第三局输了，所以杰瑞的钱是34元。所以第二局结束时，杰瑞的钱是34／2×3=51元，杰克是75-51=24元。24和51都能被3整除，所以无法判断谁赢了第二局。

假设杰瑞赢了第二局，则第一局结束时，杰瑞的钱是51／3×4=68元，杰克是75-68=7元。由于只有68能被4整除，所以第一局也是杰瑞赢了，最开始杰瑞的钱是68／4×5=85元，85大于75，所以假设错误，第二局是杰克赢了。

这样第一局结束时，杰克的钱是24／3×4=32元，杰瑞是75-32=43元。由于只有32能被4整除，所以第一局也是杰克赢了，则最开始杰克的钱是32／4×5=40元，而杰瑞是70-40=35元。

32．失落的数字

从算式的最后一层可看出（有些数字用字母表示），c=0。efg-hij是三位数，而lmnp-rst是两位数，所以lmnp＞efg，因此rst＞hij，这样b＞7。a和d分别与除数相乘后都得四位数，由此a＞b，d＞b，这样只可能b=8，a=d=9，现在得商是97809。

因rst≤999，所以除数不能大于124。xy不能大于11，应是10或11，又lmnp≥1000，因此rst＞988，123×8=984，所以除数一定大于123。

除数只能是124，被除数是124×97809=12128316，如图2。

33．魔术

用洗牌技巧使得重新洗完牌后，原来每组牌的第一张按顺序成为第一组，原来每组牌的第二张按顺序成为第二组，依此类推。

这样，当观众点头的时候，这位观众刚才抽的第几组，现在这组牌里的第几张就是他刚才记下的牌。