数字0的秘密
“0”并不是从来就有的，它是人们在生产生活中逐渐产生的，在数字中虽然代表“天”，“没有”，可是这并不影响对人类社会生活起到巨大作用。在公元前约2000年至公元前1500年左右，最古老的印度文献中已有“0”这个符号的应用，“0”在印度表示空的位置。后来这个数字从印度传入阿拉伯，意思仍然表示空位。我国古代没有“0”这个符号，最初都用“不写”或“空位”来作解决的方法。《旧唐书》和《宋史》在讲论到历法时，都用“空”字来表示天文数据的空位。南宋时《律吕新书》把118098记作：“十一万八千口九十八”；可见当时是用“口”表示“0”，后来为了贪图书写时方便将“口”顺笔改成为“0”形，与印度原先的“0”意义相通。0不能做除数，我们可以从下面两种情况来谈点道理：一种情况，如果被除数不是零，除数是零时，例如9÷0=？根据乘、除法的关系，就是说要找一个数，使它与0相乘等于被除数9，但是任何数与0相乘都等于0，而绝不会等于9。另一种情况是被除数和除数都是零，例如0÷0=？就是说要找一个数，使它与0相乘等于0，因为零与任何数相乘都得零，所以要找的数不止一个，可以是任何数，那么0÷0的商不能得到一个确定的数，这是违反了四则运算结果的唯一性，因此零除以零是没有意义的。根据上述两种情况都可以看出零是不能做除数的。当然，我们还可以从等分除法的意义上看，除数是0这个情况是不能存在的。如有12本书，分给0个学生，平均每个学生分得几本，既然没有学生分这些书，就不可能求出每个学生分得几本书，所以0是不能做除数的。“0”虽然表示“无，没有”，但是它在数学中却意义重大。任意一个数字加一个“0”，可能就意味着增加了成千上百；减少一个“0”同样也意味着降低和减少了很多。“0”本身虽然没有实在意义，但是任何一个数字和它组合，都会产生无比神奇的效果。“0”象征着原始，初期，人们认为它是迄今为止人类发明的最有意义的数字。
最大数和最小数
最大数和最小数是我们中学时期经常做的算术题。但是这里的最大数或最小数却涵含着很多趣味性和神秘性。如果给你任意三个相同的参数，中间不用任何运算符号，你能解出其中的最大数和最小数吗？或许我们都认为很容易，但事实并不是我们想象的那样。最大数和最小数一直是数字上的谜题，随着数字的变换，其求解也是千变万化，而且没有规律可循，它的神秘性激励着许多数学家对最大数和最小数作出求解。下面就举几个求最大数和最小数的例子。（1）三个1，不另加任何数学运算符号，能写成的最大的数是什么？能写成的最小的数是什么？（2）四个1，不另加任何数学运算符号，能写成的最大的数和最小的数是什么？（3）三个2，不另加任何数学运算符号，能写成的最大的数和最小的数是什么？（4）三个4，不另加任何数学运算符号，能写成的最大的数和最小的数是什么？你在回答这些问题时会发现，它们都是需要仔细想一想才能正确回答的问题。（1）很明显，111是最大数的，111=1是最小数。（2）如果你从（1）的经验出发，以为1111是最大数，就错了。这里最大的数是1111。事实上，113=1331>；1111，而1111比1111更要大得多。最小的数当然还是1111=1。（3）不要以为222是最大数；相反，它却是最小的数。这里，最大的数是222=4194304。它比222要大得多。现在，你能不另加任何运算符号，写出三个3，三个5，三个6……的最大数和最小数了吗？
黄金分割点
如果用一个点去分割一条线段，用什么比例平分才能达到视觉上的最好效果呢？并不是将这个点画在中间，也不是将这个点划在任何一个等分的位置，而是这个点分的小段与大段的比，恰好是大段与全长的比，即0.618比例，才是真正符合人视觉完美的“黄金分割点”。著名的画家达·芬奇曾经用这个比例画人体，显得非常美观和协。人们关于黄金分割有很多的方法，有黄金分割圆和黄金分割矩形等，但是为什么这个比例就达到视觉上的和协美？这一直是一个谜。“黄金分割法”由来之久，最早可以追溯到两千多年前，古希腊的柏拉图派学者欧多克斯，首先使用规尺分已知线段为“黄金分割”，他的做法如下：1.过B点，作BC上AB，而且使BC=12AB；2.连AC；3.以C为圆心，CB为半径作圆弧，交AC于D；4.以A为圆心，AD为半径作圆弧交线段AB于P，则P点分AB成黄金分割。这个做法十分简便，证明也很容易。设AB=a，则BC=a2，由勾股定理可知：AC=AB2+BC2=a2+（a22）=52a；AC=AC-DC=52a-a2=5-12a；AP=AD=5-12a。
这就证明了，P点分AB成黄金分割。这个作图方法，叫做“黄金分割法”，P点为黄金分割点。
达芬奇根据黄金分割比例绘出的人体在近代数学中，有一个几何美学完美结合的例子，那便是“黄金分割”，之所以这么叫，是因为这个比例分割的线段或者图形，都是符合人的审美要求，而这一比例也被用在了艺术领域。那么究竟什么是“黄金分割”呢，让我们好好来探索和研究一下。分割在几何学中的定义。在已知线段AB上有一点P。如果P将AB分为大小两段，使小段与大段之比恰好等于大段与全长之比，即BP∶AP=AP∶AB，那么就叫P点分线段AB成“中外比”。著名画家达·芬奇把人体许多部位之比画成中外比，显得特别和谐美观，他称中外比为“黄金分割”。在现代数学中，黄金分割点又可以用数值的说法是0.168比值，它的计算方法是这样的：设线段全长AB=a，大段AP=x，则小段BP=a-x，于是，a-xx=Xa即X2+ax-a2=0，x=-a±5a2舍去负根，得x=5-12a因此，Xa=5-12这就是说，中外比的比值为5-12。中外比的比值，叫做“黄金数”，用记号g表示。请记住：g=5-12由于5=2.236……所以g=0.618。在数学上还有一种辗转分割法：设点P1将线段AB分成黄金分割，即BP1=AP1=g；取AB中点O，作点P1关于点O的对称点P2，则点P2有下述重要性质：1.点P2也将线段AB分成黄金分割。这是因为：AP2=BP1，BP2=AP1，AP2=BP2=BP1=AP1=g，所以点P2也分AB成黄金分割。由此可知，每条线段有两个黄金分割点。2.点P2还分线段AP1成黄金分割。证明如下：由于BP1=AP1=g，而AP2=BP1，所以AP2=AP1=g，这就说明P2分AP1成黄金分割。3.作P2关于线段AP1中点的对称点P3，则AP3将AP3黄金分割。如此继续利用对称，辗转相割，可以得到一系列的黄金分割点。在国外，有位画家举办过一次画展，所有的画面都是不同比例的矩形，有的狭长，有的正方。据统计数字表明，观众最喜爱的是宽与长之比为g的短形画面。人们称这种矩形为“黄金矩形”。黄金矩形有个奇特的性质，如果矩形ABCD是黄金矩形，即DA∶AB=g，在它的内部截去一个矩形。这个过程继续下去，还可以得到一系列的黄金矩形。黄金分割就是如此奇妙，但是至今人们也还没有彻底解开其中的奥秘。为什么是0.618，而不是12或者13，才是最佳分割点呢？这恐怕要留给后人去解释了。
黄金分割平面图符合“优选法”的斐波那契数列如果给你一组数字1，1，2，3，5，8，13……你能说出13的下一个数是什么数吗？细心的人就会发现，这看似杂乱无章的数字组合其实是有规律可循的，那就是后一位数是前两位数之和，那么13之后就应该是21（8+13），……这个著名的数列就是斐波那契数列，它不仅仅是数学中的一个数列，更重要的是它竟然和自然界的很多规律不谋而合，比如素数的等值、兔子的繁殖，人们发现（不出意外的情况下）都是以此数列的比例增长的，更奇妙的是，很多人认为这是符合自然界优胜规则的数列，即2，3，5，8……的规则增长的才会保证自己不被淘汰。这是真的吗？很多的数学问题都是首先从自然界发现的，著名的斐那契数列就是其中之一，它是由于兔子繁殖问题引出的一个极为奇妙而重要的数列。有位养兔专业户想知道兔子繁殖的规律，于是他围了一个栅栏把一对刚出生的小兔子关在里面。已知一对小兔子出生后两个月就开始生兔子，以后则每月可再生一对。假如不发生伤亡现象，满一年时，栅栏内有几对兔子呢？现在，我们来帮他算一算。为了寻找规律，我们用“成”字表示已成熟的一对小兔子；“小”表示未成熟的一对小兔子，因为一对兔子生下两个月就又开始生小兔子，所以我们可以画出以下图表。月数兔子繁殖情况兔子对数意大利数学家斐波那契可见，头六个月的兔子的对数是1，1，2，3，5，8。这个数列有什么规律呢？稍加观察就可发现它有如下特点：从第三项起，每一项都等于其前两项之和。根据这个特点，我们就可以把这个数列继续写下去，从而得到一年内兔子总对数1，1，2，3，5，8，13，21，34、55，89，144。可见，满一年时，一对刚出生的兔子可变成144对。由兔子繁殖问题引出的一个数学问题，称为“斐波那契数列”。斐波那契是意大利人，12世纪、13世纪欧洲数学界的中心人物。他曾到埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国南部等地游历，回国后便将所搜集的算术和代数材料加以研究，编写成《算盘书》。该书对欧洲大陆产生了很大影响，它用大量的题目说明理论内容。兔子繁殖问题就是其中的一题。所谓斐波那契数列就是指由兔子繁殖问题引出的数列：符合斐波那契数列的植物1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……其中αn=αn-1+αn-2斐波那契数列也可叫兔子数列，该数列中的每一项都称为斐波那契数。它的通项公式为an=151+52-1-522并且limn∞anan+1=52。斐波那契数列有着广泛的应用。它和现代的优选法有密切关系。所谓优选法就是，尽可能少做试验，尽快地找到最优生产方案的数学方法。20世纪70年代经著名数学家华罗庚的倡导，优选法在我国得到广泛的推广和应用，取得了很多成果。优选法中有个“0.618法”，所谓“0.618法”就是5-12的近似值。因此，人们就可用相邻两个斐波那契数之比来近似代替0，618。在这基础上，人们还创造了一种“斐波那契法”，来寻找最优方案。
