祖冲之对中国科学事业的最大贡献，是对圆周率值的计算精确到了小数点后的第六位。对于现代人圆周率的计算已经不是数学上的大问题了。但是在15世纪以前，许多国家的数学家都曾寻找更加精确的圆周率，因此圆周率的精确程度可以作为衡量一个国家数学发展水平的标志。在圆周率的近似计算方面，古希腊数学家曾算得圆周率为3.1416时，我国还停留在“古率”为3上，一直沿用到汉代时，圆周率的计算才为较多数学家所注意。刘歆算得圆周率为3.1547或3.166，有效数字仅为3.1。后来东汉张衡又用10和92〖〗29作为圆周率，蔡邕、王蕃等也由于天文研究的需要计算了圆周率，但有效数字仍只有二位。刘徽从圆内接正六边形出发，依次将边数加倍，至192边形，求得圆周率为15750（相当于3.14）。刘徽的计算在中国数学史上给圆周率的计算打下了坚实的基础，而在这个基础上建造大厦的巨匠是祖冲之。祖冲之利用刘徽的方法，对圆周率进行了更加细密深入的计算。他通过计算内接正1536边形的面积，算出圆周率为3.1416，用分数表示为39271250，这在当时已经是够精确的了。但祖冲之并不满足于此，进一步提出了3.1415926＜π＜3.1415927。祖冲之一下子把圆周率的精确度提高了一万倍。而且他用不足和过剩近似值表示无理数值的变化范围是十分了不起的，这正是现代关于无理数表示的一个基本方法。由于中国古代存在着运用分数的习惯，祖冲之还用二个分数227（约率）和355113（密率）的值表示圆周率。密率355113近似于3.1415929（已精确到7位有效数字），这是最佳渐近分数，欧洲一直到1573年才得到这一数值，比祖冲之要晚一千多年。
在讲到祖冲之在数学方面的成就时，我们还应该提到他的数学专著——《缀术》。这本书出自祖冲之这样杰出的数学家之手，其内容博大精深，相当精彩。在他死后，他的儿子又把自己的研究成果添加进去，续写了《缀术》。可惜这部很有价值的科学著作在北宋中期就失传了，我们现在只能从历代有关文献和评论中找到一些线索。在唐朝《缀术》曾被国立学校列为必读的教材，要学习四年，是学习期限最长的算书，由此可见《缀术》一书内容之深奥。中世纪的朝鲜和日本的学校中，《缀术》也都被列为必读的书籍。
祖冲之还创造了“开差幂”、“开差立”等的算法。“开差幂”是已知长方形的面积及长宽之差求其长及宽。“开差立”是已知长方体的体积及最短棱与其他两棱之差求其长、宽、高。这分别相当于解二次方程x（x+a）=A和三次方程x（x+a）（x+b）=V。他还和儿子祖日恒一道，在世界上最早发现了“等积原理”。
祖冲之在天文历法方面也有很多创造性的贡献，他发现当时通行的《元嘉历》有三大错误，于是他上书宋孝武帝，建议采纳他编制的《大明历》，这部《大明历》是他经过长年观测天象和认真分析研究，精密而科学的推算出来的，它开辟了历法史的新纪元。遗憾的是这套先进的历法遭到保守权臣的百般诋毁和阻挠。祖冲之不畏强权，据理辩争，写出了著名的《驳议》。这篇理直气壮的论文，将保守派的谬论驳得体无完肤，反映了祖冲之不畏权势敢于坚持真理的高贵品质；也显示了他横生洋溢的才华。宋朝统治者始终未能采用《大明历》，直到祖冲之死后10年，在他儿子祖日恒的再三推荐之下，梁武帝才批准施行，一直沿用了80年。
除了在数学和天文学方面的成就，祖冲之在机械方面还有许多贡献。他曾经发明了指南车，这辆车无论怎样行走转动，车上铜人的手总是指向南方。他还发明过水礁（磨），千里船等，祖冲之对古代的经典著作还多有涉猎，他曾论述或注释过《易经》、《老子》、《庄子》、《论语》等。他甚至还写过小说，并且精通音乐。祖冲之确实可称得上是一位博学多才的科学家。
祖冲之的科学成就在我国科学技术发展史上永放光芒。他的卓越贡献也载入了世界科学史册，60年代初，人类第一次发现的月球背面的一个环形山谷，就是以“祖冲之”来命名的。祖冲之为中华民族赢得了光荣，世界人民也永远缅怀这位科学巨人。
阿拉伯的杰出数学家花拉子密
花拉子密（al-Khwārizmi，AbūJa far Muhammad Ibn Mūsā，约783～850），阿拉伯数学家、天文学家。
对于花拉子密的生平只有很少资料流传下来，通过考察历史文献，人们知道他生活的时代正是阿拉伯帝国政治局势日渐安定、经济发展迅速、文化生活繁荣昌盛的阶段，这为花拉子密从事科学研究提供了良好的社会环境。
花拉子密早年在家乡接受初等教育，后来到中亚细亚古城默夫继续深造，并且到阿富汗、印度等地游学，这使得他博学多闻，成为当时有名的科学家。公元813年，花拉子密应阿拔斯王朝的国王马蒙的邀请，到其首都巴格达工作。马蒙是一位重视科学的贤明君主，公元830年，他创办了著名的“智慧馆”，这是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后世界上最重要的学术机构。花拉子密曾长时间主持“智慧馆”的工作，直到在巴格达去世。
花拉子密的科学研究范围涉及数学、天文学、历史学和地理学等很多领域，均取得了许多重要成果。
在数学上，花拉子密有两部著作流传了下来：《代数学》和《印度的计算术》。
《代数学》是后人将原著的书名意译后给出的，原文直译应是《还原与对消的科学》，“还原”即将方程中的负项移到方程另一端使之变成正项，“对消”即方程两端可以消去相同的项或合并同类项。
在《代数学》中，花拉子密用十分简单的例题讲述了一次和二次方程的一般解法，其中二次方程一般解法的给出在世界上是最早的。《代数学》包括三部分内容。在第一部分中，花拉子密系统地讨论了一次和二次方程的解法问题。他第一次提出“根”这一名称，指出方程有三种量组成：根（植物的根或事物的根本）；根自乘的结果，即根的平方；简单数。我们现在将解方程求未知量叫做求方程的根，其来源就在于此。
花拉子密将方程化归为六种标准类型，用现代符号表示，即：
1.“平方”等于“根”，即ax2=bx
2.“平方”等于“数”，即ax2=c
3.“根”等于“数”，即：bx=c
4.“平方”和“根”等于“数”，即：ax2+bx=c
5.“平方”和“数”等于“根”，即：ax2+c=bx
6.“根”和“数”等于“平方”，即：bx+c=ax2
其中，a，b，c均为正数。
对于每一种类型的方程，花拉子密都结合具体的例子，系统地给出了一般解法。在解方程的过程中，花拉子密还认识到二次方程有两个根，这在数学史上是最早的，比希腊人和印度人有了很大的进步。但他在解方程时只取正根，而将出现的负根和零根舍去。另外，他还特别指出，若根的数目之半平方后小于自由项，则方程没有根。这相当于指出了现在我们所说的判别式必须非负的条件。
花拉子密在解方程过程中所采用的“还原”和“对消”两种变形法则正是今天我们解方程时常用的移项、合并同类项的前身。
《代数学》在12世纪传入欧洲，在以后的很长一段时间，它都被当作标准课本来使用，书中表现的内容、思想和方法对历代数学家都产生了广泛深远的影响。事实上，在中世纪和文艺复兴时期，凡是在代数学方面有过成就的欧洲数学家大多在不同程度上受到过花拉子密的影响。《代数学》一书以其逻辑严密，系统性强、通俗易懂等特点被奉为代数学教科书的鼻祖。
《印度的计算术》是一本专门讲述印度数码及其计算法的著作。书中花拉子密首先讲述了印度人使用9个数码和零号计数的方法。而后给出了四则运算的定义和法则，讲述了分数理论等。
《印度的计算术》是世界上第一部用阿拉伯文撰写的在伊斯兰国家介绍印度数码和计数法的著作，对于十进制计数法在中东和欧洲各国的传播和普及起到了关键作用。12世纪，此书传入欧洲，对于欧洲数学的发展产生了重大影响。印度数码逐渐代替了希腊字母计数系统和罗马数字，最终成为世界通用的数码。
除了数学以外，花拉子密在天文学、历史学、地理学等领域也都有很深的造诣，取得了重要的成就。
古希腊和印度的天文学著作在公元8世纪后开始传入阿拉伯国家，对其天文学发展产生了重要影响。到9世纪开始出现用阿拉伯文撰写的天文学著作，人们制造各种三角表和天文表，用以测定时间、确定日食、月食的开始时刻等。花拉子密在制造许多数据表的同时，还从理论上对已有的天文学体系做了有意义的补充，并撰写了一些关于日规和历法的著作。
中世纪，阿拉伯国家的军事和商业较为发达，这在一定程度上促进了这些国家地理学的研究和发展。花拉子密撰写了中世纪阿拉伯世界第一部地理学专著《地球景象书》，为中世纪近东和中东地理学、测量学和制图学的发展奠定了基础。
花拉子密对于历史学也颇有研究，他用阿拉伯文写出了最早的历史著作：《历史学》。
分析术杰出大师邦贝利
虚数的引入是人类在对数的认识过程中向前跨出的一大步，“虚数”这一名词是由笛卡尔在他的《几何》中首先创用的，大数学家欧拉最先引进了虚数符号“i”。在虚数的引入和应用过程中我们还应该提到另一个人的名字，那就是意大利数学家邦贝利。
邦贝利（Bombelli Rafael，1526～1572）1526年出生于意大利波伦亚的一个商人之家。大学毕业后成为一名水利设计工程师。但他酷爱数学，业余时间勤于钻研，著有《代数学》五卷，大约完成于1556年～1560年间。在这部著作中，邦贝利主要系统总结了代数方程理论。他采用了一些较为新颖的符号，并首次提出用连分数逼近平方根的方法。
为了系统总结前人解三次、四次方程所取得的成果，邦贝利从基本定义和符号入手，全面讨论了各种方程的求解方法。他主要研究了5种二次方程、7种三次方程和42种四次方程，针对每一种方程，给出了解法及例题。
卡尔达诺在研究二次方程时就已经遇到过虚数根的问题，但他只把类似于“（5+-15）（5--15=25-（-15）=40”之类的运算当作算术中“既精妙又无用”的技巧。另外，卡尔达诺也没有解决三次方程判别式为负的情形。在《代数学》中，邦贝利讨论了卡尔达诺没能解决的三次方程不可约情形，即方程的根是实数，而应用求根公式解方程时却出现平方根下为负数的表达式。邦贝利没有像卡尔达诺一样认为虚数是无用的，而是认真地看待了虚数。他证明了卡尔达诺给出的求根公式依然适用于这种情形，给出了相当于我们现在所说的虚数单位“i”的名词：“需要把它加上时，我把它叫做‘负之正’，若要减去它时，我叫它‘负之负’”。基于这样的认识，邦贝利解决了这一类三次方程，指出这一类方程通常有三个实数根，这在复数发展史上是具有里程碑式的重要意义的。
邦贝利还建立了虚数的运算法则。由于当时还没有引进虚数符号“i”，邦贝利的运算法则并不是以现在所见的形式给出的，如他是这样叙述乘法法则的：
正乘以负之正得负之正；即（+1）（i）=+i；负乘以负之正得负之负；即（-1）（i）=-i；正乘以负之负得负之负；即（+1）（-i）=-i；负乘以负之负得负之正；即（-1）（-i）=+i；负之正乘以负之正得负；即（+i）（+i）=-1；负之正乘以负之负得正；即（+1）（-i）=+1；负之负乘以负之负得负；即（-i）（-i）=-1；在《代数学》第五卷中，邦贝利还研究了著名的古希腊几何难题三等分角问题。他指出三等分角问题可以转化成解不可约情形的三次方程的问题，从而建立了从理论上证明不能通过尺规作图解决三等分角问题的基础。
邦贝利被誉为意大利文艺复兴时期最后一位代数学家，曾被德国数学家莱布尼兹称为“分析术的杰出大师”，在自己的教学过程中将邦贝利的著作作为学生学习三次方程的基础课本。事实上，《代数学》是文艺复兴时期意大利出版的最有系统的代数著作，加速了方程理论等相关代数知识在西方的传播。
