这样一来，小扇形AOB就变成为小三角形AOB了；而小三角形AOB的高就是圆的半径R。于是，开普勒就得到：
小扇形AOB的面积=小三角形AOB的面积=12R×AB。
圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以
圆面积S=12R×AB+12R×BC+12R×CD+…
=12R×（AB+BC+CD+…）
=12R×（AB+BC+CD+…）
在最后一个式子中，各段小弧相加就是圆的周长2πR，所以有S=12R×2πR=πR2这就是我们熟悉的圆面积公式。
开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615年，他把自己创造的这种求面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。
这个奇怪的书名是有来由的。有一天，开普勒到酒店去喝酒，发现奥地利的葡萄酒桶，和他家乡莱茵的葡萄酒桶不一样。他想，奥地利葡萄酒桶为什么偏要做成这个样子呢？高一点好不好？扁一点行不行？这里面会不会有什么学问？经过研究，开普勒发现，当圆柱形酒桶的截面ABCD的对角线长度固定时，比如等于m，以底圆直径和高的比为2时体积最大，装酒最多。奥地利的葡萄酒桶，恰好是按这个比例做成的。这一意外发现，使开普勒非常高兴，决定给这本关于求面积和体积的书，起名为《葡萄酒桶的立体几何》。
在这本书中，开普勒除介绍了他求面积的新方法外，还介绍了他求出的近百个旋转体的体积。比如，他计算了圆弧绕着弦旋转一周，所产生的各种旋转体的体积。这些旋转体的形状，有的像苹果，有的像柠檬，有的像葫芦。
开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，又果敢地断言：无穷小的扇形面积，和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求面积的基础上，向前迈出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家高度评价开普勒的工作，称赞这本书是人们创造求面积和体积新方法的灵感源泉。
一种新的理论，在开始的时候很难十全十美。开普勒创造的求面积的新方法，引起了一些人的怀疑。他们问道：开普勒分割出来的无穷多个小扇形，它的面积究竟等于不等于零？如果等于零，半径OA和半径OB就必然重合，小扇形OAB就不存在了；如果它的面积不等于零，小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会相等。开普勒把两者看作相等就不对了。
面对别人提出的问题，开普勒自己也说不清楚。
卡瓦利里的方法
卡瓦利里是意大利物理学家伽利略的学生，他研究了开普勒求面积方法中的问题。
卡瓦利里想，开普勒把圆分成无穷多个小扇形，这每个小扇形的面积到底等于不等于零，就不好确定了。但是，只要小扇形还是图形，它是可以再分的呀。开普勒为什么不再继续分下去了呢？要是真的再细分下去，那分到什么程度为止呢？这些问题，使卡瓦利里陷入了沉思之中。
有一天，当卡瓦利里的目光落到自己的衣服上时，他忽然灵机一动：唉，布不是可以看成为面积嘛！布是由棉线织成的，要是把布拆开的话，拆到棉线就为止了。我们要是把面积也像布一样拆开，拆到哪儿为止呢？应该拆到直线为止。几何学规定直线没有宽度，把面积分到直线就应该不能再分了。于是，他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可分量，直线是平面面积的不可分量。
卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想，可以把长方体看成为一本书，组成书的每一页纸，应该是书的不可分量。这样，平面就应该是长方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的，这样想也是有道理的。
卡瓦利里紧紧抓住自己的想法，反复琢磨，提出了求面积和体积的新方法。
1635年，当《葡萄酒桶的立体几何》一书问世20周年的时候，意大利出版了卡瓦利里的《不可分量几何学》。在这本书中，卡瓦利里把点、线、面，分别看成是直线、平面、立体的不可分量；把直线看成是点的总和，把平面看成是直线的总和，把立体看成是平面的总和。
卡瓦利里怎样用不可分量求面积的呢？现在以椭圆为例，介绍如下：
椭圆有一条长轴和一条短轴，如图相交于O，把椭圆分成了四等份。
卡瓦利里设a和b是长轴和短轴的一半；以椭圆中心O为圆心，以b为半径，在椭圆内作一个圆。
他根据不可分量的想法，把椭圆面积的四分之一，看成是由无穷多条平行于a的线段组成，每一条线段与圆交于一点。
卡瓦利里根据椭圆的性质推出，任一条和a平行的线段MN，与圆交于P，一定有MPMN＝ba他把这样引出的无穷多条平行线段，由小到大编上M1N1，M2N2，M3N3，…就可以得到一大串比例式M1P1M1N1＝M2P2M2N2＝M3P3M3N3＝…＝ba比例有这样一个性质：如果ab＝cd成立，那么a＋cb＋d＝cd也成立。他利用比例的这个性质，就得到M1P1＋M2N2＋M3P3＋…M1N1＋M2N2＋M3N3＋…＝ba在卡瓦利里看来，分子的和就是圆面积的四分之一，分母的和就是椭圆面积的四分之一。
因为14圆面积14椭圆面积＝圆面积椭圆面积＝ba即πb2椭圆面积＝ba所以，椭圆面积＝πab
这就是我们现在求椭圆面积的公式。
卡瓦利里使用不可分量的方法，求出了许多前人不会求的面积，受到了人们的拥护和尊敬。
卡瓦利里还根据不可分量的方法指出，两本书的外形虽然不一样，但是，只要页数相同，薄厚相同，而且每一页的面积也相等，那么，这两本书的体积就应该相等。他认为这个道理，适用于所有的立体，并且用这个道理求出了很多立体的体积。这就是有名的“卡瓦利里原理”。
事实上，最先提出这个原理的，是我国数学家祖日恒。祖日恒是祖冲之的儿子，生于公元5到6世纪，比卡瓦利里早一千多年，所以我们叫它“祖日恒原理”或者“祖日恒定理”。
荒谬的结果
卡瓦利里的《不可分量几何学》一书，也受到了一些人的责难。原因是使用不可分量的方法，可以推出任意两个三角形的面积相等。
他们说，任意作一个两腰不相等的三角形ABC，由顶点A向对边BC引高线AD，AD把△ABC分成大小不等的△ABD和△ADC。显然，△ABD的面积大于△ADC的面积。
用不可分量的方法，把△ABD看成是由无穷多条平行于高AD的线段M1N1，M2N2，M3N3，…组成的，写成式子就是△ABD的面积＝M1N1＋M2N2＋M3N3＋…边AB边上的N1，N2，N3，…点，分别引平行于底边CB的直线，交AC边于N1，N2，N3，…再过N1′，N2′，N3′…点，引垂直于BC边的线段N1′M1′，N2′M2′，N3′M3′…由上面的作法得到M1N1＝M1′N1′，M2N2＝M2′N2′，M3N3＝M3′N3′…根据不可分量的方法，△ADC的面积又可以看作是由无穷多条平行线段M1′N1′，M2′N2′，M3′N3′，…组成的，所以有等式△ADC的面积＝M1′N1′＋M2′N2′＋M3′N3′＋…＝M1N1＋M2N2＋M3N3＋…＝△ABD的面积看来不可分量的方法，一定存在着什么漏洞。不然的话，怎么会推出这样荒谬的结果呢？
问题出在哪儿呢？
难求的速度
谁都知道飞机快，火车慢，自行车更慢。可是人们对各种速度的认识，并不都是这么简单明白，没有争论。
谁先落地
两件轻重不同的东西，同时从楼上自由下落，哪个先着地？你可能说重的先着地，也可能说重的轻的一起着地，究竟哪个回答对呢？
这个问题，人们很早就注意到了。公元前三百多年，古希腊有个哲学家叫亚里士多德，他认为轻重不同的两件物体，从同一高度自由下落，一定是重物先着地。亚里士多德的名气很大，“先哲”的话当然不会错，所以人们把重物先着地的说法当作真理，信奉了2000年。
16世纪末，比利时的工程师斯台文指出，重物先着地的说法是错误的。他说，在不考虑空气阻力的情况下，轻重不同的物体应该同时着地。斯台文还作了实验，他拿轻重不同的两件物体，从十米高处同时自由下落，结果是同时着地。
一个不知名的人竟敢说“先哲”的话错了，竟敢说人们把这个问题认识错了2000年，哪里会有人信哩！
著名的比萨斜塔实验
真理和谬误不容颠倒。继斯台文之后，意大利物理学家伽利略，继续向亚里士多德的错误发起进攻。
与斯台文一样，伽利略也认为轻重不同的物体应该同时着地。为了回答保守势力的反对，他于1590年作了一次自由落体实验。
在意大利比萨城郊有一座倾斜的古塔，伽利略就选择这个斜塔作为实验场地，邀请了许多人来参观，进行了著名的“比萨斜塔实验”。伽利略让一个一磅重和一个一百磅重的两个铅球，同时由塔顶自由落下，只听见“咚”的一声响，两个铅球同时着地了。这“咚”的一声，宣布了伽利略的胜利，同时也宣告了亚里士多德统治人们将近2000年的错误理论彻底破产！
比萨斜塔实验，不但使人们承认了物体下落的速度，与物体本身的重量无关；而且还告诉人们，物体在自由下落的过程中，速度不是一成不变的，而是越往下落速度越快。
伽利略还通过实验发现，自由落体运动的速度变化是有规律的，这就是每过一秒钟增加约9.8米。因为自由落体是由静止开始下落，所以第一秒末的速度＝9.8米／秒；第二秒末的速度＝9.8＋9.8＝19.6米／秒。
如此等等。如果用g表示9.8，每过一秒，速度就增加一个g，过t秒，速度就变成为gt了。
伽利略第一次找到了关于自由落体运动的公式：
v（速度）＝gt
s（路程）＝12＝gt2
伽利略把实验方法与数学计算结合起来，为物理学的研究开辟了新的方向。
变速运动
16世纪的欧洲人，认为炮弹是沿着折线飞行的，甚至在教科书里也这样讲。
为什么他们会这样认识呢？估计这是因为在放炮的人看来，炮弹总是沿着直线飞出去的；而在挨炮弹的人看来，炮弹也总是沿着直线从天而降。把两者合在一起，炮弹就成了按折线飞行的了。
伽利略通过实验和计算，告诉人们炮弹飞行的路线不是一条折线，而是一条曲线。他还给这条曲线取了一个形象的名字，叫做“抛物线”。与此同时，他还指出飞行中的炮弹和自由下落的物体一样，速度也在随时变化，是“变速运动”。
伽利略大胆构思，精心实验，并且用数学计算论证结论，一连纠正了人们的两个错误认识，为普及科学知识和引起人们对科学研究的兴趣，做出了可贵的贡献。
伽利略求速度的故事就讲到这里。这个故事给我们提出了一个既重要又有趣的问题：变速运动的速度随时变化，怎样正确理解和掌握变速运动的“瞬时速度”呢？
“飞矢不动”论
“瞬时”是一瞬间的意思。要正确理解物体运动的瞬时速度，首先要搞清楚什么是“一瞬间”。平时，我们爱用“一眨巴眼”来形容很短的时间。物理学上的“一瞬间”，可要比“一眨巴眼”短得多了。对于瞬时速度，我们可以先粗略地把它理解为：在非常、非常短的一丁点时间内，物体运动的速度。
仔细想想，你可能会问，物体运动离不开时间，如果时间非常、非常短，物体还能运动吗？
在很长的时期里，人们对瞬时速度是否存在，一直议论纷纷，争论不休。公元前4世纪，古希腊有个著名人物叫芝诺，他不但反对有瞬时速度，而且认为运动也是不可能存在的。
芝诺能言善辩，有人写诗形容他：“大哉芝诺，鼓舌如簧；无论你说什么，他总认为荒唐。”芝诺编造了许多诡辩问题，其中一个叫做“飞矢不动”。所谓诡辩，就是用貌似正确的方法，来论证错误的结论。“飞矢不动”的意思是说，飞行着的箭根本没动地方。
芝诺是这样来论证他的诡辩的：如图，箭要由A点飞到B点，它首先要经过A、B的中点C。箭要由A飞到C，又先要飞到A、C的中点D，而A、D两点之间还有中点E。依此类推，不管两点距离多近，它们之间总还会有中点的。因为我们永远也找不到距离A点最近的中点，所以箭也就动不了。
“飞矢不动”的结论如此荒谬。但是，要从芝诺的论证中找出它的错误，却是十分困难的。可见当时人们对运动的认识还很不够。
掌握速度
17世纪的欧洲，由于远洋航行的兴起，枪炮的使用，人们越来越要求精确掌握物体运动的速度。
大炮射程的远近，一方面和大炮的仰角有关，另一方面和炮弹离开炮口那一瞬间的初速度有关。在仰角固定的情况下，初速度越大，炮弹飞行得越远。为了提高大炮的射程和命中率，必须准确掌握炮弹飞行的初速度。
远洋航行需要随时确定船只在大海中的位置。稍有差错，航行的方向不对头了，就可能引起船只沉没，船员死亡。当时使用的方法是观察日、月、星辰的位置，叫“天文导航”。但是，天体在运行，航船在前进，为了使天文导航准确可靠，必须准确知道行星和航船的速度。
此外，在17世纪发展起来的机械力学、流体力学等科学技术，也需要精确掌握运动的速度。
