当开普勒把小扇形换成为小三角形以后，小三角形面积的和，就是圆面积的近似值了。小扇形越小，相应的小三角形也越小，它们相差得也越小。这样，小三角形面积的和，也就越接近圆面积了。
在细分圆的过程中，小三角形面积的和组成了一个无穷数列，圆面积就是这个无穷数列的极限。
卡瓦利里用“不可分量”的方法求面积和体积遗留下来的问题，也同样可以用极限把它说清楚。
巧妙的方法
极限和无穷小紧紧相连，是无限过程的结果。要是把极限比做一曲动听的交响乐，那它的每一个乐章，都离不开无限这个主题。
π等于多少
π等于多少？
你回答：π等于3.1416。
3.1416是π的近似值，π的精确值等于多少？
你回答：π是一个无理数，是一个无限不循环小数。因为无限而又不循环，所以需要没完没了地写下去，并且永远也别想把它写完。
答得很好。既然π的值需要没完没了地写下去，永远也写不完，你怎么知道π一定存在呢？
你问道：这……这是什么问题呀？
这个问题很重要。看来，你还没想到过这个问题。
整数和分数的存在是不容怀疑的。无限循环小数可以化成分数，它的存在也是不容怀疑的。一个永远写不完、又没有循环规律的无限不循环小数，怎么能肯定它的存在呢？
仔细想想这个问题，实在有认真研究的必要。下面，我们就来谈谈这个问题。
胡同里捉鸡
不知谁家的鸡跑到胡同里来了。
忽然，从一家院子里跑出来了一个小男孩，他想捉住这只鸡。只见鸡在前面，一会儿快跑，一会儿慢走；小男孩一个劲在后面追，累得满头大汗，也没有捉住鸡。
这时候，从胡同的另一头，走来了一个小女孩，两个人一人把住一头，一步一步地逼近鸡。当两个小孩碰面的时候，鸡无处可逃，终于被捉住了。
小胡同里捉鸡启发了我们。如果把数轴当作一条小胡同，把π当作跑进胡同里的鸡，看看我们能不能用胡同里捉鸡的办法，去捉住π这只鸡。如果能够捉住，当然就可以肯定π的存在了。
在捉π的时候，我们通过圆内接正多边形和外切正多边形，可以不断地算出π的不足近似值和过剩近似值，用这两串数把π夹在中间：
3＜π＜4
3.1＜π＜3.2
3.14＜π＜3.15
3.141＜π＜3.142
…………
如果把这两串数值画在数轴上，我们会发现这两串数越来越靠近，就像两个小孩从胡同的两头，一步一步地逼近鸡似的。既然两个小孩碰面的时候，鸡被捉住了；那么，这两串数“碰面”的时候，就应该能捉住π。
数学上已经证明，用捉鸡的方法，在数轴上捕捉实数时，一定能捕捉到一个，绝不会叫你扑空。
对于任意给定的无穷数列
x1，x2，x3，…
如果我们能够找到两列有共同极限的无穷数列：
a1，a2，a3，…的极限为M，
b1，b2，b3，…的极限也为M，
把所给的数列夹持在这两个数列之间，即
a1≤x1≤b1，a2≤x2≤b2，a3≤x3≤b3，…
那么，所给的数列一定也以M为极限，即
x1，x2，x3，…的极限为M。
这个确定极限存在的方法，是用已知去逼近未知，用处广泛，十分重要。
死胡同捉e
e和π一样是一个无理数，一样很有用。
e是怎样得到的呢？原来人们在研究无穷数列
（1+11）1，（1+12）2，（1+12）3，…（1+1n）n，…时，证明这个数列肯定有一个极限存在，可是这个极限的数值等于多少呢？
观察这个数列的变化规律：
（1+11）1＝（1+1）1＝2
（1+12）2＝（32）2＝2.25
（1+13）3＝（43）3＝6427≈2.37
（1+14）4＝（54）4＝625256≈2.44
……
这个数列的数值从第一项起，一项比一项大。但是，不管你怎么往下算，它的数值永远小于2.8。这就好比在一条死胡同里捉鸡。
在死胡同里捉鸡，就不再需要两个小孩了，只要一个小孩就可以把鸡捉到。2.8就好比是胡同里堵死的一端。这个数列的极限，就好比是要捉的鸡；一项一项的数值，就好比是步步逼近鸡的小孩。当鸡跑近胡同的一头，无处可逃时，也终于让小孩捉住了。
人们就是用类似死胡同里捉鸡的方法，去捕捉这个极限，发现它是个无理数。数学家用e来表示它，e＝2.718281828459045…在数轴上捕捉实数，当发现一端是“堵死”的时候，只要从另一端步步逼近就可以了。
电工找断线
在具体使用两边夹逼的方法时，怎样才能找到两串数，由两边来逼近所求的值呢？使用较多的是“二分逼近法”。电工找断线，用的就是这个方法。
电线AB，不知什么地方断了。请来电工，他首先找到AB的中点C，测试一下，如果AC之间通电，断线肯定在BC中间；如果AC之间不通电，那一定是AC中间断了。假定是AC中间断了，他再找到AC的中点D，用同样的方法，找出断线是在AD之间，还是在DC之间。假定是DC之间断了，他再找出DC的中点E。这样一次一次地测试，测试的电线一次比一次短，经过几次测试，就可以把断头找出来了。
电工寻找未知点，总是把断线一分为二，然后步步逼近。现在，我们用二分逼近法来捕捉无理数3：
因为12＜3＜22，
所以3必然在1和2之间。
找到1和2的中点1.5，
因为1.52＝2.25＜3，
所以3必然在1.5和2之间。
再找到1.5和2的中点1.75，
因为1.752＝3.0625＞3，
所以3必然在1.5和1.75之间。
这样继续下去，范围越来越小，所得到3的近似值，也就越来越精确了。
当然，根据需要，采用别的分法也可以。
逼近曲边形
由曲线OB的端点B，引垂直于OX轴的直线BA，得到一个曲边三角形OAB。怎样求曲边三角形OAB的面积呢？
乍一看去，这个问题好像很难，因为没有现成的公式可用。要是我们采用小孩捉鸡的方法，去逼近曲边三角形OAB，很快就可以把它的面积求出来。
先把OA分成四等份，假设作出三个小矩形1，2，3。我们用这三个小矩形面积的和S3，来代替曲边三角形OAB的面积，相差的就是其中的斜线部分。S3可以计算出来：
S3＝1+2+3＝A1B1×A1A2+A2B2×A2A3+A3B3×A3A＝OA4×（A1B1+A2B2+A3B3）。
你可能会想，这样近似代替的误差不是太大吗？的确太大了，但是可以想办法使误差小一些。方法是把OA多分几份，比如分成十等份，作出九个小矩形。用九个小矩形面积的和S9，来代替两边三角形OAB的面积，这时相差的面积就小多了。
我们如果再多分下去，分得越多，相差的面积也越小。也就是说，所有小矩形面积的和，与曲边三角形OAB的面积越接近于相等。你看，在无限等份过程中，所有小矩形面积的极限，就是曲边三角形OAB的面积了。
在一般情况下，当我们还不知道另一边是不是“堵死”的时候，为了保险起见，我们应该从两边去逼近它。求曲边三角形OAB的面积，也可以用两边逼近法如图。
当我们等分OA的份数越来越多时，里面小矩形面积的和越来越大，外面小矩形面积的和越来越小；当里外“碰面”的时候，就捉住了曲边三角形OAB的面积这只“鸡”。
神秘的无限
在极限的基础上，建立起来了一门十分重要的数学分支叫做微积分。它专门和无限打交道。
在一般人看来，无穷、无限就是没完没了，没有尽头，没有止境。过去，有人把无限看成是神秘的、不可捉摸的东西；也有人把无限看成是崇高的、神圣的东西。诗人哈莱曾写诗颂扬无限：
我将时间堆上时间，世界堆上世界，将庞大的万千数字，堆积成山，假如我从可怕的峰巅，晕眩地再向你看，一切数的乘方，不管乘千来遍，还是够不着你一星半点。
也有人觉得无限是不可理解的。德国哲学家康德，就曾经为无限苦恼过。他说，无限像一个梦，一个人永远看不出前面还有多少路要走。看不到尽头，尽头是摔了一跤或者晕倒下去。但是，尽管是摔了一跤或者晕倒下去，也不可能到达无限的尽头。
微积分恰恰是运用这种被看作是不可理解的无限，创造出一种崭新的数学方法，为解决大量的实际问题，为科学技术的发展，作出了十分宝贵的贡献。
现在，微积分这棵参天大树，已经是枝叶繁茂，果实累累，正在为人类作出更大的贡献。
惊人的预言
自牛顿和莱布尼兹创立微积分到现在，已经三个世纪了。恩格斯说：在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样，被看作是人类精神的最高胜利了。
下面，讲几个早期的例子，看看微积分是怎样推动自然科学向前发展的。
地球的模样
18世纪的欧洲，随着科学的进步，人们逐渐认识到地球不是一个很圆的球体，而是有一点扁，是一个扁球体。地球是怎样扁法的呢？在那时却有着两种截然不同的认识，形成了两个对立的学派。
一派是以法国巴黎天文台台长卡西尼为首的法国科学家。他们根据法国哲学家笛卡儿的宇宙学说，认为地球在南北两极是伸长的，像一个直立的鸡蛋。但是，牛顿利用力学原理，用微积分等数学工具，对地球的形状进行了计算，算出地球的形状在两极是扁平的，扁平率为1230。这就形成了另一派。两派争论激烈，谁也说服不了谁。
为了让事实作出回答，1735年，法国巴黎科学院同时派出两支测量远征队，进行大地测量，以便判定谁是谁非。一支测量队到南美秘鲁的别鲁安，另一支测量队到北方的拉普兰德。测量的结果，表明了地球是扁平的。
地球扁平形状的确定，是牛顿力学的胜利，也是微积分的胜利。
哈雷的功绩
彗星是一种特殊的天体。它有一颗明亮的彗头，拖着一条美丽的彗尾。在很长的时期里，人们不了解彗星是什么东西，以为它在天上一出现，地上就要发生大灾大难。
科学从它产生的那天起就是反对迷信的。1682年，英国天文学家哈雷，对那一年出现的一颗彗星进行了计算，又整理了从1337年以来有关彗星的记录。他根据微积分计算出来的结果，宣布这颗彗星在1758年还要回来的。
1743年，法国数学家克雷罗，考虑到木星和土星对这颗彗星的影响，用微积分重新进行了计算。克雷罗指出：这颗彗星由于受木星和土星的影响，将不在1758年，而是在1759年再一次出现。到了1759年，这颗美丽的彗星果然又一次出现在夜空中。
这颗彗星的按期出现，证实了哈雷预言的正确，为了表彰哈雷的功绩，后来，人们就把这颗彗星叫做“哈雷彗星”。
在我国史书上，有这颗彗星出现的最早和最完整的记载，第一次是在公元前611年。
把数算错了
细心的科学家有时也会算错数。根据推算，哈雷彗星将于1910年再一次出现。可是，因为在计算哈雷彗星轨道时算错了数，他们曾预言在1910年，哈雷彗星会与地球迎面相撞，一起毁掉。于是，教会乘机大作文章，说什么1910年是“人类的末日”。有的人害怕地球与哈雷彗星相撞，赶忙卖掉财产，吃喝玩乐之后，跳楼自杀了。后来科学家发现轨道计算错了，又重新进行了计算，结果是地球并不会与哈雷彗星迎面相撞，而只是穿过哈雷彗星的尾部。
一波未平，一波又起。又有人造谣说哈雷彗星的尾部是由剧毒气体组成，人类即使不被哈雷彗星撞死，也会被剧毒气体熏死。有人出主意，让每家准备好大水缸，装好水，等哈雷彗星一到，人立刻钻进水缸里去。还有的药店，兜售什么“彗星药丸”，说吃了就可以不被毒死。
1910年，人们怀着紧张的心情，等来了哈雷彗星。可是，除了看见美丽明亮的哈雷彗星外，全世界安然无恙。
根据计算，哈雷彗星下一次将于1985年末出现。
发现海王星
太阳系有九大行星。由里往外数，最外面的三颗，依次是天王星、海王星和冥王星。这三颗行星，因为离地球越来越远，不容易看到，所以一个比一个发现晚。
1781年，英国天文学家赫歇耳，用望远镜发现了天王星。在研究天王星运行轨道时，发现实际观察的轨道，与根据力学原理，用微积分等数学工具计算出来的轨道不相符合。这是为什么呢？当时就有人预言：在天王星的外面，可能还存在着一颗尚未发现的新行星。可是，在无边无际的天空，到哪儿去找这颗新行星呢？
64年过去了。到了1845年，英国剑桥大学数学系学生亚当斯，根据力学原理，利用微积分等数学工具，进行了一系列困难的计算，算出了这颗新行星的轨道。这年10月21日，他把计算的结果，寄给了英国格林威治天文台台长艾利，可惜没有引起重视，也没有人用望远镜去寻找这颗新行星。
比亚当斯稍晚，法国巴黎天文台青年科学家勒威耶，用微积分等数学工具，计算了由几十个方程组成的方程组，算出了这颗新行星的轨道。1846年9月18日，勒威耶写信给当时拥有详细星图的柏林天文台的伽勒。他在信中写道：“请你把你们的天文镜指向黄经326°外的宝瓶座内的黄道的一点上，你就将在离此点的1°左右的区域内，发现一个圆面显明的新行星。”伽勒于1846年9月23日夜间，就在离所指点相差52′的地方，发现了这颗新行星。人们给它取名海王星。
