一个无穷数列，要是从某一项开始，以后所有的项都是越来越靠近一个固定的数，靠近到“你要多近有多近”，“你说多近，可以近到比你说的还近”，我们就把这个固定的数，叫做这个无穷数列的极限！反过来看，要是一个无穷数列有极限的话，它一定是一位钻以极限为中心的小圈的能手。
0.9，0.99，0.999，…的极限是1；
1，12，14，18，…的极限是0；
1.9，2.01，1.999，2.0001，…的极限是2。
谨防冒牌货
无穷数列0.9，0，0.99，0，0.999，0，…有没有极限？1是它的极限吗？
我们说，这个数列没有极限，1不是它的极限。因为这个数列不是一心一意地、而是三心二意地靠近1。你看它往1靠近一步，下一项就跳回到零；再往1靠近一步，下一项又跳回到零。它有“猴脾气”，在里面呆不住，这不符合极限的要求，所以没有极服。
数列0.1，0.01，0.001，0.0001，0.00001，0.000001的极限是0吗？
这个数列变化的趋势，确实是越来越靠近0，但是它只有六项就完了，做不到“要多近有多近”，所以没有极限。因此，项数有限的数列，不管有多少项，根本谈不上有极限。
下面的几个数列有极限吗？如果有极限，极限是什么？
12，23，34，…
1，2，3，…
11，12，13，…
4，4，4，…
12，－14，18，－1〖〗16，…
0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999
1，－1，1，－1，…
请你动脑筋想一想，不要判断错了。
取胜的绝招
有些人，虽说不知道什么是无穷数列和极限，可是却会用它们去争论问题，运用灵活，你相信吗？
你听，这是甲、乙两个小同学看了电影《孙悟空大闹天空》后，正在兴高采烈、津津有味地争论。
甲：我有孙悟空的本领，说声“变”，我就可以变成一个一尺高的小人。
乙：我的本领比孙猴子高，我说声“变”，可以变成一个半尺高的小人。嘿，比你矮半截。
甲：半尺高算得了什么，我再说声“变”，就为成一个一寸高的小人啦。
乙：我再说声“变”哪，就半寸高了，还是比你矮一半。
甲不说话了，他在心里想，照这样说下去，没完没了，而他总比我矮。他终于想出了一个好主意，对乙说道：咱俩别抬杠了。这样吧，你比我年龄小，我让你先说。你可以随便往矮里变，只是不许变没了。你说了以后，就不许再改了，然后我再说，怎么样？
乙：行。他憋足了劲说：我可以变成一个一万万万万分之一寸高的小人。
甲胸有成竹地说：我可以变成两万万万万分之一寸高的小人，比你矮吧。
甲后发制人，取得了胜利。
要是有人不相信无穷数列12，14，18，…的极限是0；12，23，34，…的极限是1，你就可以采用这种后发制人的取胜绝招，使他点头称是，口服心服。
做一次游戏
知道了什么是极限，就可以来研究为什么0.999…＝1了。
我们可以把无限循环小数0.999…看成无穷数列0.9，0.99，0.999，…因为1是这个无穷数列的极限，所以有0.999……＝1啊，原来这个等式的含意是：无穷数列0.9，0.99，0.999，…的极限等于1。
我们还可以把0.999…写成无穷多项的和：
0.999…＝0.9＋0.09＋0.009＋…
因为0.999…＝1
所以0.9＋0.09＋0.009＋……＝1
这个等式很重要。现在，我们用这个等式来做一次取糖游戏；假设在一个口袋里装有十块糖，你六秒钟取出一块，一分钟就把十块糖取出来了。要是口袋里的糖增加到一百块，让你一分钟全取出来，只要你动作快一些，能保证0.6秒取出一块，一分钟也就把糖全取出来了。
现在，假设口袋里装有无穷多块糖，让你一块一块地往外取，并且限你一分钟全取出来，你办得到吗？这一回，你恐怕要皱眉头了。
其实，这也没有什么不好办。只要你取糖的动作足够快，是可以在一分钟之内，把无穷多块糖全部取出来的。取的方法是，你取第一块糖用0.9分钟，取第二块糖用0.09分钟，取第三块糖用0.009分钟……你这样越取越快，把你取无穷多块糖所用的时间，加在一起就是0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.999…＝1。
结果，恰好等于1分钟。这说明一分钟是可以把无穷多块糖全取出来的。
这条线多长
有一条由半圆组成的波形曲线如图。已知最左边的半圆半径为0.9厘米，往右各半圆的半径，依次是它左边半圆半径的十分之一，即R1＝0.9厘米，R2＝0.09厘米，R3＝0.009厘米，虽然说半圆的半径越来越短了，但是永远不可能等于零，问这条波形曲线有多长？
乍一看，这条曲线好像不会有确定的长度。究竟有没有？需要动手算一算。
我们知道半圆的周长是πR。假设整条波形曲线的长度为l，那么l＝0.9π＋0.09π＋0.009π＋…＝π（0.9＋0.09＋0.009＋…）因为0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.999…＝1所以l＝π×1＝π计算结果表明：这条无限振荡、不断伸长的波形曲线，它的总长等于π厘米！
给勇士平反
极限能帮助我们解决很多疑难问题。
前面讲到“飞矢不动”的诡辩，那位芝诺还提出过另外一个诡辩，叫做“阿溪里斯追不上乌龟”。
阿溪里斯是古希腊神话中的善跑的勇士。芝诺说，阿溪里斯尽管跑得非常快，但是他却追不上一只在他前面爬行的乌龟。这是怎么回事呢？
芝诺说，假设乌龟从A点起在前面爬，阿溪里斯从O点出发在后面追。当阿溪里斯追到乌龟的出发点A时，乌龟同时向前爬行了一小段——到了B点；当阿溪里斯从A点再追到B点时，乌龟又向前爬行了一小段——到了C点。依此类推，阿溪里斯每次都需要先追到乌龟的出发点；而在阿溪里斯往前追的同时，乌龟总是又向前爬行了一小段。尽管阿溪里斯离乌龟的距离越来越近，可是永远也别想追上乌龟。
过去，许多人不知道怎样去驳倒芝诺。现在，有了极限的方法，就很容易戳穿他的谎言，把他彻底驳倒。
假定阿溪里斯的速度是10米／秒，乌龟的速度是1米／秒；乌龟的出发点是A，阿溪里斯的出发点是O，OA＝9米。
当阿溪里斯用0.9秒跑完9米到了A点；乌龟在0.9秒的时间内，向前爬行了0.9米，到了B点。阿溪里斯再用0.09秒跑完0.9米，追到了B点；乌龟同时又向前爬行了0.09米，到了C点。阿溪里斯一段一段地向前追赶，所用的总时间t和总距离s是t＝0.9＋0.09＋0.009＋…（秒）s＝9＋0.9＋0.09＋…（米）因为0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.999…＝1所以t＝1（秒）s＝10×（0.9＋0.09＋0.009＋…）
＝10×1＝10（米）
计算表明，阿溪里斯只用了一秒钟，跑了十米路，就把乌龟追上了！
看来，阿溪里斯真要感谢极限了。要不是极限把问题给搞清楚了，他还要蒙受追上不乌龟的耻辱。
制作望远镜
我们来介绍极限在几何上的一个应用。
雨天骑自行车，车轮带起的雨水，是沿着车轮的切线方向飞出去的。
圆周上一点A的切线好求。联OA，过A作LA⊥OA，LA就是切线。科学研究的发展，迫切需要解决怎样作一般曲线的切线。
三百多年前，荷兰卖镜片的亨斯无意中发现，把一片老花镜和一片近视镜组装在一起，可以看清楚远处的景物，制成了第一架望远镜。
伽利略改进了望远镜，造出了能放大32倍的望远镜。他用这架望远镜，发现了月亮上的高山和谷地，发现了太阳上的黑子，发现了木星的四颗卫星。这一系列的发现，惊动了当时欧洲的科学界，许多科学家纷纷制作倍数更大的望远镜。
制作望远镜促进了光学的研究。原来，镜片的弯曲程度，直接影响着望远镜的放大倍数，而镜片弯曲程度的计算和设计，都要用到切线。
怎样求一般曲线的切线？人们曾经提出过许多方法。但是在这些方法中，都存在着一些不能令人满意的地方。后来，人们应用极限的思想，把切线看作是割线的极限位置，很好地解决了曲线的切线问题。
如图，当B点沿着曲线C向A点运动时，割线AB就以A为中心转动。在B点无限趋近A点的过程中，割线AB如果有一个极限位置L存在的话，那么，直线L就叫做曲线C在A点的切线。
认识无穷小
以零为极限的无穷数列很重要。
1，12，13，14，…
1，－12，14，－18，…
13，133，1333，…
－0.4，0.04，－0.004，0.0004，…
这些数列的共同点是：越变绝对值越小，越变越靠近零。我们把这种绝对值越来越小，以零为极限的无穷数列叫做无穷小。
要是让无穷小的每一项都翻一个跟头，变成为它的倒数，就可以得到另外一种数列。你看，把上面四个无穷小翻一个跟头得到1，2，3，4，…1，2，4，-8，…3，33，333，…-10.4，10.04，-10.004，10.0004，…这四个新数列的共同特点是：绝对值越变越大，充分靠后的项的绝对值，可以大到“你要多大有多大”，“你说多大，可以变得比你说的还大”。我们把这种无穷数列叫做无穷大。
无穷小和无穷大的数值相差很大，但是关系密切。无穷小翻一个根头，就变成了无穷大；无穷大翻一个根头，就变成了无穷小。
无穷小还和别的有极限的无穷数列特别要好，好到形影不离。凡是有极限的地方，总少不了无穷小。
无穷数列0.9，0.99，0.999，…的极限是1，伴随着它，有一个无穷数列0.1，0.01，0.001…很明显，这个数列的数值越变越小，以0为极限，是一个无穷小。
无穷数列1.9，2.01，1.999，2.0001，…的极限是2，伴随着它的无穷小是0.1，-0.01，0.001，-0.0001，…通过这两个例子，我们可以总结出一个数列有极限，求伴随它的无穷小的方法是：拿数列的极限，依次减去数列的每一项，就得到了这个无穷小。
请你求一求，伴随下面几个数列的无穷小：
12，23，34，45，…的极限是1；
2，32，43，54，…的极限是1；
4，73，105，137，…的极限是32；
1，14，19，116，…的极限是0。
极限和无穷小的这种亲密关系，你可以自己动手画个图形来看就更清楚了。
你看，把等腰三角形ABC的底边AC分成8等份，作一个内接台阶形。台阶形的面积与ΔABC的面积的差，就是图上靠在两腰上的8个小三角形面积的和。
当我们把底边AC分成为16等分时，内接台阶形的面积就更接近ΔABC的面积了。也就是说，边上16个小三角形面积的和变得更小了。
当我们把底边AC分划的份数无限增多时，台阶形面积的极限就是ΔABC的面积。也就是靠两腰的三角形个数无限增加，而它们的面积的和是一个无穷小。
驳倒大主教
前面讲到牛顿从平均速度出发，正确地求出了瞬时速度。但是，他说不清楚Δt是不是零，以至被大主教贝克莱钻了空子，胡说Δt是什么消失了数量的“量的鬼魂”。有了极限，我们就可以驳倒贝克莱的谎言了。
牛顿求瞬时速度的方法，是先求出平均速度v＝ΔsΔt；当Δt越来越小时，平均速度越来越接近瞬时速度。还是拿前面的航船作例子，s＝t2，Δs＝4Δt+（Δt）2，平均速度v＝ΔsΔt＝4+Δt。
我们可以给Δt-串越来越小的数值：
Δt＝1秒，0.1秒，0.01秒，0.001秒…相应地得到平均速度v的一串数值：
v＝5米／秒，4.1米／秒，4.01米／秒，4.001米／秒…随着Δt越来越接近于零，平均速度v越来越接近4米／秒。它可以近到“你要多近有多近”，“你说多近，可以近到比你说的还近”。这就是说，4米／秒是平均速度的极限。
那么，Δt究竟是不是零呢？
从Δt的变化过程，我们可以清楚地看出，虽然Δt的值越来越小——1，0.1，0.01，0.001，…但是它始终不等于零，所以我们求平均速度时，可以放心地拿Δt去除Δs，这样，平均速度ΔsΔt总是有意义的。
在Δt趋近于零的过程中，瞬时速度是平均速度的极限。这就是说，在取极限过程中，Δt始终没有取零。所以，不用担心会出现Δt＝0这个不合理的步骤。
由于极限的结果与令Δt＝0的结果完全一样，所以，牛顿能正确地求出瞬时速度的数值。在牛顿求瞬时速度的时候，极限的思想和方法还没有很好地建立起来，他只从结果上考虑，令Δt＝0，造成了理论上的缺欠，让贝克莱钻了空子。
从极限角度看来，Δt是一个无穷小，以零为极限。
小扇形问题
开普勒一开始就把圆分割成无穷多个小扇形，正确地求出了圆面积。但是他说不清楚，每个小扇形的面积是不是零。
从极限角度来看，在开普勒对圆进行细分的过程中，得到了一串越来越小的小扇形面积，这些小扇形的面积，组成的数列是一个无穷小。它本身不是零，而是以零为极限。
